請問這條會考怎樣做[1988]

(a) 將θ=π/10代入

LHS = cos 3π/10
RHS = sin 2π/10 = cos (π/2 - 2π/10) = cos 3π/10 = LHS

(b) 已知cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ 及 sin2θ = 2sinθcosθ
代入(a)的等式, cos3θ = sin2θ 變成4cos³θ - 3cosθ = 2sinθcosθ
因為θ=π/10是(a)裏等式的根, 那亦會是4cos³θ - 3cosθ = 2sinθcosθ的根
所以可以將θ=π/10再代入4cos³θ - 3cosθ = 2sinθcosθ,
4cos³(π/10) - 3cos(π/10) = 2sin(π/10)cos(π/10)
cos(π/10)[ 4cos²(π/10) – 3] = 2sin(π/10)cos(π/10)
4cos²(π/10) – 3 = 2sin(π/10)
4[1-sin²(π/10)] – 3 = 2sin(π/10)
4 - 4 sin²(π/10) – 3 = 2 sin(π/10)
4 sin²(π/10) + 2 sin(π/10) – 1 = 0

sin(π/10)
= {-2 ± √[2² - 4 (4) (-1)]}/2(4)
= {-2 ± √20}/8
= (-1 +√5)/4
(-1 -√5)/4因為<0所以不適用

2007-04-19 01:46:46 補充：
感謝下面的朋友"匿名"的嘗試, 但我要指出他所提的"We can't put π/10 into the equation as we have not prove that."是錯的. 他混淆了方程式(equation)和恆等式(identity), 這是學生常犯的錯誤. 請"匿名"不要介懷, 我沒有惡意, 只是藉此機會將概念弄清. 很多學生大概知道運算的方法, 但數學概念則較為模糊. 會考要求不太高, 即使概念不清也不太影響考試成績, 但學習和考試是兩回事, 基本概念不清會影響日後建立進一步的知識.

2007-04-19 01:47:34 補充：
首先這裏的cos3θ=sin2θ是方程式(equation), 在數學上方程式可解(solve), 但不可證(prove), 要prove就只可以prove某數是該方程式的根(root). 只有恆等式(identity)是可prove的, 在恆等式, 無論代入任何數, 相等都成立.如果面對一條未解的方程式, 任意代入數值當然不對, 因為只有代入"根", 相等才成立. 而這正是方程式的基本概念. 所以既然一數代入方程式後能達到LHS=RHS(亦即恆等), 該數從定義上就是該方程式之"根".

2007-04-19 01:49:37 補充：
"匿名"的所謂"real method"在(a)是可行的, 但cos3θ=cos(π/2-2θ)的下一步應該是”3θ=2nπ ±(π/2-2θ) 而n=整數(integer)”, π/10只是當n=0時的一個解. 根據"We can't put ___ into the equation as we have not prove that." 的說法, 如果題目要求證實的是13π/2, 你便要代入不同的 n, 得出多個根, 然後試看那一個有沒有13π/2了.

2007-04-19 01:50:05 補充：
可見這"real method”是化簡為繁, 在”匿名”的運算內不見得那樣複雜, 只因為跳了step, 而π/10恰巧是最易”碰”到的根. 而證13π/2, LHS=cos39π/2=0, RHS=sin 13π=0, 非常簡單.

2007-04-19 01:51:10 補充：
其實這種短問題, 要求的方法通常都不會複雜, 只要概念正確就可以, 但如果在答案中表現錯的基本概念, 小心觸及評卷參考內偶然指定”不予分數”的作答寫法.

2007-04-19 01:52:06 補充：
同樣在(b)中, "匿名"再一次化簡為繁, 原本只需代入θ=π/10可以簡單完成任務全取分數, 但留意他的最後答案是” θ= (-1+√5)/4”, 根本沒有回應題目要求作答”sin π/10” 的值. 雖然答案是(-1+√5)/4, 但他所指的是θ (其實他原本想打sinθ), 而不是”sin π/10”, 也沒有指出他的”sinθ”究竟和題目要求的”sin π/10”有何關係. 所以"匿名"即使沒有打漏”sin”, 最後寫”sin θ= (-1+√5)/4”, 也未能完滿解答(b)題而全取分數.

2007-04-19 01:59:33 補充：
相信"匿名"仍在求學時期, 勇於嘗試和表達的態度確值得欣賞, 祝各位學業進步！

2007-04-21 00:51:12 補充：
回應”匿名”朋友的問題，因為trigonometric equation理論上有無限個根，所以cos3θ=cos(π/2-2θ)轉為3θ=π/2-2θ，除非有其他條件限制了根的值所在範圍，否則你只答了無限個根之中的其中一個，所得的分數亦都應該是無限份之一（tend to zero）。用3θ=π/2-2θ你找到正確答案是運氣，因為你也可以將寫成cos3θ=sin2θ=cos(-π/2+2θ)，轉為3θ=-π/2+2θ, 得出完全不同的答案θ=-π/2.

2007-04-21 00:52:01 補充：
我不清楚你學到general solution(通解)沒有, 而cosθ=a的通解就是θ=2nπ±cosֿ¹a where n=integer.e.g. cos θ = 0.5, cos θ = cos (π/3), θ=2nπ±π/3 where n = integer, 即是說θ的根包括-π/3, π/3, 5π/3, 7π/3, … 而絶不只是π/3一個.同樣, cos3θ=cos(π/2-2θ), 3θ=2nπ ±(π/2-2θ) where n= integer是同一道理.

2007-04-22 22:54:32 補充：
更加應該多謝"匿名"朋友, 沒有他, 我又豈會一時興之所至寫補充呢!

a)
We can't put π/10 into the equation as we have not prove that.
the real method is this:

cos3θ=sin2θ
cos3θ=cos(π/2-2θ)
3θ=π/2-2θ
5θ=π/2
∴θ=π/10

b) cos3θ = sin2θ

4cos^3θ- 3cosθ=2sinθcosθ

4cos^3θ- 3cosθ-2sinθcosθ=0

cosθ(4cos^2θ-3-2sinθ)=0

cosθ=0 or 4cos^2θ-3-2sinθ=0

4cos^2θ-3-2sinθ=0

4(1-sin^2θ)-3-2sinθ=0

4-4sin^2θ-3-2sinθ=0

4sin^2θ+2sinθ-1=0

θ=(-2±√(4+16))/8

θ=( -2±2√5 )/8

θ= (-1+√5)/4 or (-1-√5)/4 (rejected as sin( π/10) >0)

∴θ= (-1+√5)/4

2007-04-20 22:27:36 補充：
感謝朋友'一無所有'的對我錯誤的指證, 我也明白了在這題中錯誤的地方但我想知道為什麼3θ=±(π/2-2θ)??再一次感謝朋友'一無所有'的提醒. 我會繼續努力的

a)
put a=π/10 into the equation
LHS=cos3a=cos3(π/10)=sin[(π/2-3(π/10 )]=sin(π/5)=cos2a
b)
if a=π/10 ,then cos3a=sin2a (proved)
cos3a =4(cos a)^3-3cosa =sin2a=2sinacosa ----->4cos^3a - 3cosa=2sinacosa
4[cos(π/10)]^3-3cos(π/10 )-2sin(π/10 )cos(π/10 )=0
cos(π/10 ){4[cos(π/10)]^2-3-2sin(π/10 )}=0
4[1-sin^2(π/10)]-3-2sin(π/10 )=0
4sin^2(π/10)+2sin(π/10 )-1=0
so sin(π/10)=[-2+(4+16)^(1/2)]/(2*4)
sin(π/10)=[5^(1/2)-1]/4

2007-04-17 20:40:09 補充：
From the solution of book