‘最偉大公式’

畢氏定理

二次公式

正弦公式

我認為最偉大公式係畢氏定理

畢式定理是由畢達哥拉斯發現的，在中國也有人發現，又稱商高定理，

高定理是指直角三角形的2股平方和＝斜邊的平方　

等腰三角形三邊比是１：１：根號２

所謂的畢氏定理就是在一個直角三角形中，斜邊的平方等於兩股平方和，也就是圖中藍色正方形的面積等於黃色加上紅色正方形的面積，雖然說稱它為畢氏定理，可是這是有一點不恰當的，因為在畢達哥拉斯發現他之前中國人和巴比倫人在他之前一千多年前就已經再利用這個性質來從事建築，在中國古老的數學家商高在公元前一千多年前就已經提到：「勾廣三、股修四、徑隅五」，這是一個直角三角形的三邊長，這是他在回答周公如何計算天地的度量時所提到的，當然古書還有其它相關的記載，這裡我們要說明的是：「把他稱為商高定理或是勾股弦定理都是常見的相關說法，而古人常用畢氏定理來作直角，記得我參加清大足球隊訓練時，有一次要畫禁區的白線，那是一個球門中央左右18碼當作長，寬為18碼的長方形，可是要如何畫出這個禁區呢？
可以利用畢氏定理來畫，首先拿皮尺從球門中心C向右找出18碼的點A
，以A為固定點當0，拿皮尺在18碼處和18＋18×1.414分別當作B與C點，則A、B、C三個點同時撐緊時就是一個我們所要的直角三角形，這樣子畫出來的禁區是非常漂亮的。
在二十世紀初，有許多科學家相信火星上住著高智慧的生物，因為天文學家們發現火星上有運河的樣子，而火星跟地球距離相近，氣候應該適合生物居住，可是我們要如何跟它們溝通呢？他們會不會說話呢？即使會說話語言也不相通呀！有人想到既然地球上不同地區不同時間都先後發現了畢氏定理，那麼如果火星上住著高智慧的生物，他們應該也會知道這個定理才是，應此我們可以在西伯利亞種上大樹，排成畢氏定理的圖形，或是在大沙漠中挖出一個畢氏定理的運河，然後在運河上灑汽油，晚上點起火來，火星人就能看見我們了，或許還會乘坐飛碟來看我們呢。但是因為工程太大，所以從來沒有實現。
從畢達哥拉斯時代到現在，畢氏定理已經被提出了許多證明，它已經四百多種不同的證明，甚至於曾經有一位美國總統在他擔任議員的時候也給出一個證明。

畢氏定理揭示了直角三角形三邊之間的度量關係，是直角三角形中的一個重要性質，直角三角形ABC中，a2+b2=c2。因我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱"勾"，較長直角邊稱"股"，斜邊稱"弦"，所以把這個定理稱"畢氏定理"。畢氏定理是一個十分重要而著名的定理，它不僅在數學中有廣泛的應用，而且在其他自然學科，如物理、力學中也常常用到。
畢氏定理的發現和證明是我國在幾何學上的一項重要成就。我國古代數學名著《周髀算經》第一章就記載了西周開國時期（約西元前1000年），已發現"勾廣三、股修四、徑隅五"這個畢氏定理的特例。該收又度載了"勾、股各自乘並而開方除之，得邪（同科）至日"，這就是畢氏定理的一般敘述，另一部古算書《九章算術》裏也有同樣的記載。
《周髀算經》和《九章算術》都成書於西漢中期（約西元前100年左右）可以肯定這個定理是這兩本書寫成以前，由我國單獨發現，並已流傳開來，這個定理在西方被稱?"畢達哥拉斯定理"，畢氏的證明也沒有流傳下來，後來在西元前三世紀時由歐幾裏得編人《幾何原本》並作了證明，該書直到明朝的除光（1562-1633）翻譯成中文後，才傳入我國。
我國早證明這個定理的是三國時吳人趙爽（群卿），在《周髀算經》第一章的注文中，附錄了他撰寫的《勾股圓方圖注》，用了短短五百餘字和六張附圖，簡練地總結了後漢時期勾股算術的輝煌成就，不但對畢氏定理和其他關於勾、股、弦三邊的恒等式，作出了較嚴格的證明，並且對二次方程的解法，也提供了新的見解。
趙爽的證明用了一個弦圖，該弦圖是以弦邊長的正方形，由四個全等的勾股形（圖中四個直角三角形）組成，把這四個勾股形染成紅色，中間小正方形染成黃色。設這裏的勾股形的勾、股、弦分別是a，b，c，則一個紅色在角形的面積是1/2ab，四個紅色三角形的面積2ab,中間黃色的正方形面積是(b-a)2,便有c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2 -2ab+a2=a2+b2。
一般書上所用的弦圖以a+b一邊的正方形,它的面積比兩個以c邊長的正方形面積少一個中間小正方形的面積，即（a+c）2=2c2-（b-c）2，經過代數變換，很容易得出a2+b2=c2，這個弦圖後來流傳到印度，被大數學家拜斯卡拉（Bhas-kara，12世紀時人）寫在書中，用於證明畢氏定理。
趙爽利用圖形的面積證明瞭畢氏定理，此後，劉徽、梅文鼎、李銳、項名達、華蘅芳等人另創證法多種（據說共200餘種），這些證法的實質，都是把勾、股上的兩個正方形進行某種分割，再拼成一個弦上的正方形。

1+1 =2


不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。好像是...(=.=")
有不少人都可能曾經問過"為何1+1=2？"這個看似多餘(!?)的問題。現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 "1+1=2& quot; 這句對絕大多數人來說都"顛撲不破"的數學述句。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}


〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕

現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：

0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}

[Λ為空集]

一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。

在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。

〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕

跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。

定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。

映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。

現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下：
1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)

〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]

1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。我相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica" ;中的那個。
我們可以這樣証明"1+1 = 2"：
　首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
　γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]


1先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件,
a.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n ,n 與n 對應.
b.元素e 必定屬於N 中.
c.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.
d.N 中的元素,a =b 則a=b.(元素唯一)
e.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n 也屬於S.那麼S=N.
N 就是我們說的自然數集合.
其中我們規定e:=1, e :=2, (e ) :=3,.....以此類推.


2. 再來定義加法,
加法( )為一函數,這函數滿足兩個條件
1.( )(n,e)=n 寫成大家熟悉的式子1.n( )e=n
2.( )(n,m )=(( )(n,m)) 2.n( )m =(n( )m)
滿足上面條件的函數( ),我們稱為加法 .( ):=


滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下
因為( )(e,e)=e
e( )e=e
所以1 1=2 得證.
存在：
e, e ,(e ) ,…… 即所有自然數
唯一：
n N " Î ，
(n,e)=n
(n,e )=( (n,e))
(n,e ) )=………
故( )存在且唯一
上述證明翻成白話文如下：
自然數系依加法運算分別是：1，1 ，(1 ) ，……。而這些1 ，（1 ） ，…就用符號2，3，…
表示，所以1 1指的是1後面那一個數字，也就是1 ，自然就是2。


為什麼會有Peano 公設，及定義加法，這起源於十九世紀末，二十世紀初，Hibert，Brouwer，因物理上狹義相對論，及量子論推翻了物理舊基礎，而數學家們因此想證明，數學是有堅固基礎，是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎，於是第一個當然針對自然數系開始，希望能像歐氏幾何一樣，從基本公設，經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質，所以歸結出Peano 五個公設（其實後人把它進一步歸結成三個），而羅素與他的老師懷海德合寫<<數學原理>>三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯，這樣一來，數學家就可以宣稱「數學是真理」。


不幸的是，1929年Godel 23歲時證明了一個定理：

不完全性定理：
如果有一個系統包含算術，而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾，那麼這個系統中一定存在一個命題，這一個命題的肯定或否定都無法證明。所以數學並不只是邏輯。當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義，可以從Godel的定理來看看。

圓周
E=MC2