數學家怎進行兀的估算方法?

圓周率 = 圓形的周長/圓形的直徑
符號π是第十六個希臘字母，到1706年才開始以它代表圓周率的。

π＝3.141592653589793238 46264338327950288419 71693993751058209749 44592307816406286208 99862803482534211706 79821480865132823066 47
09384460955058223172 53594081284811174502 48111745028410270193 85211055596446229489 54930381964428810975 66593344612847564823

在20000以上(目前)
圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比 （ratio of the circumference of a circle to the diameter） 。用符號π表示。中國古代有圓率、圜率、周等名稱。

　　古希臘歐幾里得《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，中國古算書《周髀算經》（ 約公元前2世紀）中有「徑一而周三」的記載，也認為圓周率是常數。歷史上曾採用過圓周率的多種近似值 ，早期大都是通過實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取π=（）4≒3.1604 。第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德 ，他在《圓的度量》（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形 開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到3<π<3 ，開創了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或 阿基米德方法），得出精確到小數點後兩位的π值。

　　中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時（263年）只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確 到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術。南北朝時代的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後 7位的π值（約5世紀下半葉），給出不足近似值 3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似 分數值，密率355/113和約率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發表於荷蘭工 程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數 值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力， 於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。

　　1579年法國數學家韋達給出π的第一個解析表達式 (^=開方)

兀/2=1/^2/1*1/2+1/2^*^1/2^*^1/2+1/2^+1/2^1/2....


此後，無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π 值表達式紛紛出現，π值計算精度也迅速增加。1706 年英國數學家梅欽計算π值突破100位小數大關。1873 年另一位英國數學家尚可斯將π值計算到小數點後707位，可惜他的結果從528位起是錯的。到1948年英國的弗 格森和美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。

　　電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室首 次用計算機（ENIAC）計算π值，一下子就算到2037位小數，突破了千位數。1989年美國哥倫比亞大學研 究人員用克雷－2型和IBM－VF型巨型電子計算機計算出 π值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1 億位數，創下新的紀錄。

　　除π的數值計算外，它的性質探討也吸引了眾多數學家。1761年瑞士數學家蘭伯特第一個証明π是無理數 。1794年法國數學家勒讓德又証明了π2也是無理數。到1882年德國數學家林德曼首次証明了π是 超越數，由此否定了困惑人們兩千多年的「化圓為方」尺規作圖問題。還有人對π的特徵及與其它數字的聯系 進行研究。如1929年蘇聯數學家格爾豐德証明了eπ 是超越數等等。



圓周率的發展
古代
中國周髀算經
西方聖經 周一徑三
圓周率 = 3

元前三世紀 阿基米德
(希臘) 1. 圓面積等於分別以半圓周和徑為邊長的矩形的面積

2. 圓面積與以直徑為長的正方形面積之比為 11:14

3. 圓的周長與直徑之比小於 3 1/7 ,大於3 10/71

三世紀 劉徽
(中國)
用割圓術得圓周率＝3.1416稱為 "徽率"
五世紀 祖沖之
(中國)
1. 3.1415926 < 圓周率 < 3.1415927

2. 約率 ＝ 22/7

3. 密率 ＝ 355/113

1596年 魯道爾夫
(荷蘭)
正確計萛得 p 的 35 位數字
1579年 韋達
(法國)
"韋達公式" 以級數無限項乘積表示 p
1600年 威廉.奧托蘭特
(英國)
用p/σ表示圓周率

π是希臘文圓周的第一個字母

σ是希臘文直徑的第一個字母

1655年 渥里斯
(英國) 開創利用無窮級數求 p 的先例
1706年 馬淇
(英國)
"馬淇公式" 計算出 p 的 100 位數字
1706年 瓊斯
(英國) 首先用 p 表示圓周率
1789年 喬治.威加
(英國) 準確計算p 至126 位
1841年 魯德福特
(英國)
準確計算 p 至 152 位
1847年 克勞森
(英國)
準確計算 p 至 248 位
1873年 威廉.謝克斯
(英國) 準確計算 p 至 527 位
1948年 費格森和雷恩奇
(英國, 美國) 準確計算 p 至 808 位
1949年 賴脫威遜
(美國)
用計算機將 p 計算到 2034 位
現代 用電子計算機可將 p 計算到億位

實際方法~

其中一個計算兀o既方法為:利用polyhedron(多角体)
方法為:將圓(r=1)緊緊放入一個多角体, 再用一個多角体(同一數量o既角)將同一圓緊緊包圍
(多角体一定要係邊長相等, 圓才可以緊緊接觸多角体的"角"或"邊")
計算兩個多角体(相同數量角)o既面積(任何多角体的面積都是有方法計算)
就可以確定 細多角体面積<兀<大多角体面積

例子:用正方体為多角体
(i)放圓在邊長為2 o既正方体內, 圓會緊緊接觸正方体四邊, 正方体面積為4
(ii)放圓在邊長為 開方 2 o既正方形(用畢士定理計算長度)內, 正方体面為2

那就得知:2<兀<4

若用更多"角"体, 如100角的多角体, 會得到更準確範圍。

圓周率
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手寫體寫的 π圓周率，一般以 π 來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。

在分析學上, π 可以嚴格地定義為滿足 sin(x) = 0 的最小正實數 x, 這裡的 sin 是正弦函數（採用分析學的定義）。

常用 π 的 十進位 近似值為 3.1415926, 另外還有由 祖沖之 給出的疏率： 及密率：。


如果一個圓的直徑是 1, 它的圓周便是 π目錄 [隐藏]


[編輯] π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或 已足夠，但工程學常利用 3.1416 （5個有效數字） 或 3.14159 （6個有效數字）。至於密率 　則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。


[編輯] 實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。

至阿基米德之前，π值之測定倚靠實物測量。


[編輯] 幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎 與 之間。

公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。

公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。


[編輯] 分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。

Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。

Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。

所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：


其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方法稱為「類Machin演算法」。


[編輯] 計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre演算法或 Borweins演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent演算法。

第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：

(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。

1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：


以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。此類π演算法稱為Bailey-Borwein-Plouffe演算法。請參考 Bailey's website 上相關程序。

Fabrice Bellard於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP演算法：


其它計算圓周率的方法包括：

(Ramanujan)
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)


[編輯] π的特性和相關方程
幾何：

若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r
若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r2
若橢圓的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab
若球體的半徑為 r，其體積為 V = (4/3) π r3
若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r2
角度： 180 度相等於 π 弧度

[編輯] 代數
π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。


[編輯] 數學分析
(Leibniz 定理)
(Wallis乘積)
(歐拉)


(斯特林(Stirling)公式)
(歐拉(Euler)公式)
π 有個特別的連分數表達式：


π 本身的連分數表達式(簡寫)為 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數




第一個和第三個漸近分數即為疏率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。

(另有 12 個表達式見於 [2] )


[編輯] 數論
兩個任意自然數是互質的機率是 6/π2。
一個任意整數沒有重複質因數的機率為 6/π2。
一個任意整數平均可用 π/4 個方法寫成兩個完全數之和。

[編輯] 機率論
取一枚長為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的機率是圓周率的倒數（泊松針）。曾經有人以此方法來尋找 π 的值。

[編輯] 動態系統 / 遍歷理論

對[0, 1]中幾乎所有 x0，其中 xi 是 iterates of the Logistic map for r=4.

[編輯] 物理學
(海森堡測不準原理)

(相對論的場方程)


[編輯] 統計學
}- （此為常態分配的機率密度函數）

[編輯] 尚待解決的問題
關於 π 未解決的問題包括

它是否是一個正規數，即 π 的十進位表達式是否包含所有的有限數列。對於二進位表達式，答案是肯定的，這是 Bailey 及 Crandall 於2000年從 Bailey-Borwein-Plouffe 方程的存在而引申出來的。
0,...,9是否以完全隨機的形出現在 π 的十進位表達式中。若然，則對於非十進位表達式，亦應有類似特質。
究竟是否所有0,...,9都會無限地出現在 π 的小數表達式中。
到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確。

[編輯] 文化

[編輯] 背誦π的位數
世界記錄是100000位，原口証（en:Akira Haraguchi）於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。中文用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒,爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂而樂」，就是3.1415926535897932384626。


[編輯] π在數學外的用途
在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.141592
3月14日為圓周率日


其他的資料可到
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87