請問中國人和外國數學家所用的方法有沒有相似地方?是中國人先發現的抑或是西方數學家先發現圓周率? 快
回答 (4)
2007-04-17 5:04 am
tpomps的
2007-04-17 2:44 am
多邊形面積逼近法
阿基米德的《圓的度量》
最早試圖從圓面積去求圓周率的人是阿基米德（Archimedes，公元前287 - 前212）。他意識到圓形的面積可以用多邊形的面積來逼近：只要我們作一個外切於圓形的正多邊形，再作一個內接於圓形的正多邊形，則圓的面積介乎外切正多邊形的面積與內接正多邊形的面積之間；換句話說，我們可以由此得到一個圓面積的上限和下限。而且當正多邊形的邊數的不斷增加，則圓的面積與兩個正多邊形的面積便越來越接近，即我們對圓面積的估計的誤差越來越少。從他編寫的《圓的度量》一書中，他初步提出圓周率約為 22/7。
劉徽的「割圓術」
公元 220 年，中國魏晉時代的劉徽提出一種求圓面積的方法，名為「割圓術」。方法是這樣的：在圓周上截取一些點把圓周等分，然後順序連接這些點，組成內接正多邊形。當等分點取得越密，內接正多邊形的面積與圓面積就越接近，只要這種分割，無限地進行下去，就可以獲得圓面積的值。這時的圓周率約為 3.14。
祖沖之的突破
另外，祖沖之（430 - 501）亦在公元 480 年得出圓周率為 355/113。有人計算過，假設地球是一個正球體，其直徑正好等於 8000 英里，那麼用 355/113 計算地球周長的話，其誤差只有 11 英尺，即使用人造衛星來測量，也未能提供比這更精確的數值。
魯道爾夫得 35 位數字的 p
1610 年，荷蘭數學家魯道爾夫（Ludolph van Ceulen，1540 - 1610）計算了正 262 邊形的面積，正確地得出了 p 的 35 位數字。後人為了紀念他的奮鬥精神和他為計算 p 的值所作的貢獻，在他的墓碑刻上了以下結果﹕
。
用無限項乘積表示的 p
韋達無限項乘積表示的 p
1579 年，法國數學家韋達（François Viète，1540 - 1603）成為首位用無限項乘積表示 p 的數學家，是為計算 p 值的一次突破。他通過計算直徑為 1 的圓的內接正 4、8、16、…… 邊形的面積，得出了 p 的一個表達公式。
他發現直徑為 1 的圓的內接正方形的面積可以表達成︰
；
接著，同一個圓的內接正八邊形的面積可以表達成︰
；
韋達發現當內接於圓的正多邊形的邊數不斷以兩倍增大時，它的面積表達式應該是︰
。
那麼，
。
此結果命名為「韋達公式」。
韋達的突破，雖然是了不起，但由於在實際計算中不免要碰到多次開方，這也甚為麻煩。
渥里斯的突破
1655 年，英國數學家渥里斯（John Wallis，1616 - 1703），再次得出 p 的無限項乘積表達式︰
。
這明顯比韋達的公式簡潔得多。
以無限級數表達的 p
上面所說的都是用無限項的乘積來表示圓周率，以下則討論數學家怎樣用無限項的和來表示圓周率。
格里哥利的「格里哥利展開式」
1671年，英國數學家格里哥利（James Gregory，1638 - 1675）發現了著名的「格里哥利」展開式︰
代入 x = 1，得到︰
。
計算前兩個分數，可得 ﹔計算三項，可得 ﹔計算四項，可得 。利用這種計算方法，要計算五千項，所得到 p 的值才精確到五位。雖然速度很慢，卻是計算 p 值的第二次歷史性突破。
馬淇公式
1706 年，英國天文學家馬淇（John Machin，1680 - 1751）發現︰
。
再根據格里哥利展開式，得出︰
。
根據這結果，只要計算前面六項，就能得出 p 的 100 位數字。
無限級數的突破
其後，亦有多位數學家做出更多位的 p 值。例如：1794 年，英國喬治．威加（von Vega，1754 - 1802）算到 p 的 140 位（但只有 136 位正確）；1841 年，魯德福特（William Rutherford）計算到 p 的 208 位（但只有 152 位正確）；1847 年，克勞森（Thomas Clausen，1801 - 1885）計算到 p 的 248 位；1873 年，英國威廉．謝克斯（William Shanks，1812 - 1882）更算到 p 的 707 位（但只有 527 位正確）；而更高的紀錄為英國費格森（D. F. Ferguson）和美國雷恩奇（J. W. Wrench）所創，在 1948 年共同發表的 808 位。
計算機的奇蹟
電腦的出現，為 p 值的計算帶來了很大的突破。電腦所用的還是原來的那一套公式，只是因為電腦計算速度快，因此它能計算出單憑人力所不能計算到的數位。
直至 2003 年，電腦已能把 p 的值計算到小數點後超過一兆二千億位。
阿基米德的《圓的度量》
最早試圖從圓面積去求圓周率的人是阿基米德（Archimedes，公元前287 - 前212）。他意識到圓形的面積可以用多邊形的面積來逼近：只要我們作一個外切於圓形的正多邊形，再作一個內接於圓形的正多邊形，則圓的面積介乎外切正多邊形的面積與內接正多邊形的面積之間；換句話說，我們可以由此得到一個圓面積的上限和下限。而且當正多邊形的邊數的不斷增加，則圓的面積與兩個正多邊形的面積便越來越接近，即我們對圓面積的估計的誤差越來越少。從他編寫的《圓的度量》一書中，他初步提出圓周率約為 22/7。
劉徽的「割圓術」
公元 220 年，中國魏晉時代的劉徽提出一種求圓面積的方法，名為「割圓術」。方法是這樣的：在圓周上截取一些點把圓周等分，然後順序連接這些點，組成內接正多邊形。當等分點取得越密，內接正多邊形的面積與圓面積就越接近，只要這種分割，無限地進行下去，就可以獲得圓面積的值。這時的圓周率約為 3.14。
祖沖之的突破
另外，祖沖之（430 - 501）亦在公元 480 年得出圓周率為 355/113。有人計算過，假設地球是一個正球體，其直徑正好等於 8000 英里，那麼用 355/113 計算地球周長的話，其誤差只有 11 英尺，即使用人造衛星來測量，也未能提供比這更精確的數值。
魯道爾夫得 35 位數字的 p
1610 年，荷蘭數學家魯道爾夫（Ludolph van Ceulen，1540 - 1610）計算了正 262 邊形的面積，正確地得出了 p 的 35 位數字。後人為了紀念他的奮鬥精神和他為計算 p 的值所作的貢獻，在他的墓碑刻上了以下結果﹕
。
用無限項乘積表示的 p
韋達無限項乘積表示的 p
1579 年，法國數學家韋達（François Viète，1540 - 1603）成為首位用無限項乘積表示 p 的數學家，是為計算 p 值的一次突破。他通過計算直徑為 1 的圓的內接正 4、8、16、…… 邊形的面積，得出了 p 的一個表達公式。
他發現直徑為 1 的圓的內接正方形的面積可以表達成︰
；
接著，同一個圓的內接正八邊形的面積可以表達成︰
；
韋達發現當內接於圓的正多邊形的邊數不斷以兩倍增大時，它的面積表達式應該是︰
。
那麼，
。
此結果命名為「韋達公式」。
韋達的突破，雖然是了不起，但由於在實際計算中不免要碰到多次開方，這也甚為麻煩。
渥里斯的突破
1655 年，英國數學家渥里斯（John Wallis，1616 - 1703），再次得出 p 的無限項乘積表達式︰
。
這明顯比韋達的公式簡潔得多。
以無限級數表達的 p
上面所說的都是用無限項的乘積來表示圓周率，以下則討論數學家怎樣用無限項的和來表示圓周率。
格里哥利的「格里哥利展開式」
1671年，英國數學家格里哥利（James Gregory，1638 - 1675）發現了著名的「格里哥利」展開式︰
代入 x = 1，得到︰
。
計算前兩個分數，可得 ﹔計算三項，可得 ﹔計算四項，可得 。利用這種計算方法，要計算五千項，所得到 p 的值才精確到五位。雖然速度很慢，卻是計算 p 值的第二次歷史性突破。
馬淇公式
1706 年，英國天文學家馬淇（John Machin，1680 - 1751）發現︰
。
再根據格里哥利展開式，得出︰
。
根據這結果，只要計算前面六項，就能得出 p 的 100 位數字。
無限級數的突破
其後，亦有多位數學家做出更多位的 p 值。例如：1794 年，英國喬治．威加（von Vega，1754 - 1802）算到 p 的 140 位（但只有 136 位正確）；1841 年，魯德福特（William Rutherford）計算到 p 的 208 位（但只有 152 位正確）；1847 年，克勞森（Thomas Clausen，1801 - 1885）計算到 p 的 248 位；1873 年，英國威廉．謝克斯（William Shanks，1812 - 1882）更算到 p 的 707 位（但只有 527 位正確）；而更高的紀錄為英國費格森（D. F. Ferguson）和美國雷恩奇（J. W. Wrench）所創，在 1948 年共同發表的 808 位。
計算機的奇蹟
電腦的出現，為 p 值的計算帶來了很大的突破。電腦所用的還是原來的那一套公式，只是因為電腦計算速度快，因此它能計算出單憑人力所不能計算到的數位。
直至 2003 年，電腦已能把 p 的值計算到小數點後超過一兆二千億位。
2007-04-14 2:27 am
西方的阿基米德最先發現圓周率的～
阿基米德的《圓的度量》
最早試圖從圓面積去求圓周率的人是阿基米德（Archimedes，公元前287 - 前212）。他意識到圓形的面積可以用多邊形的面積來逼近：只要我們作一個外切於圓形的正多邊形，再作一個內接於圓形的正多邊形，則圓的面積介乎外切正多邊形的面積與內接正多邊形的面積之間；換句話說，我們可以由此得到一個圓面積的上限和下限。而且當正多邊形的邊數的不斷增加，則圓的面積與兩個正多邊形的面積便越來越接近，即我們對圓面積的估計的誤差越來越少。從他編寫的《圓的度量》一書中，他初步提出圓周率約為 22/7。
劉徽的「割圓術」
公元 220 年，中國魏晉時代的劉徽提出一種求圓面積的方法，名為「割圓術」。方法是這樣的：在圓周上截取一些點把圓周等分，然後順序連接這些點，組成內接正多邊形。當等分點取得越密，內接正多邊形的面積與圓面積就越接近，只要這種分割，無限地進行下去，就可以獲得圓面積的值。這時的圓周率約為 3.14。
祖沖之的突破
另外，祖沖之（430 - 501）亦在公元 480 年得出圓周率為 355/113。有人計算過，假設地球是一個正球體，其直徑正好等於 8000 英里，那麼用 355/113 計算地球周長的話，其誤差只有 11 英尺，即使用人造衛星來測量，也未能提供比這更精確的數值。
你去以下網址睇下啦～
http://db.math.ust.hk/articles/pi/c_pi.htm
阿基米德的《圓的度量》
最早試圖從圓面積去求圓周率的人是阿基米德（Archimedes，公元前287 - 前212）。他意識到圓形的面積可以用多邊形的面積來逼近：只要我們作一個外切於圓形的正多邊形，再作一個內接於圓形的正多邊形，則圓的面積介乎外切正多邊形的面積與內接正多邊形的面積之間；換句話說，我們可以由此得到一個圓面積的上限和下限。而且當正多邊形的邊數的不斷增加，則圓的面積與兩個正多邊形的面積便越來越接近，即我們對圓面積的估計的誤差越來越少。從他編寫的《圓的度量》一書中，他初步提出圓周率約為 22/7。
劉徽的「割圓術」
公元 220 年，中國魏晉時代的劉徽提出一種求圓面積的方法，名為「割圓術」。方法是這樣的：在圓周上截取一些點把圓周等分，然後順序連接這些點，組成內接正多邊形。當等分點取得越密，內接正多邊形的面積與圓面積就越接近，只要這種分割，無限地進行下去，就可以獲得圓面積的值。這時的圓周率約為 3.14。
祖沖之的突破
另外，祖沖之（430 - 501）亦在公元 480 年得出圓周率為 355/113。有人計算過，假設地球是一個正球體，其直徑正好等於 8000 英里，那麼用 355/113 計算地球周長的話，其誤差只有 11 英尺，即使用人造衛星來測量，也未能提供比這更精確的數值。
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http://db.math.ust.hk/articles/pi/c_pi.htm
收錄日期: 2021-04-12 19:17:57
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070413000051KK04402