詳細介紹牛頓第三定律。

說明：

定義一，The quantity of matter「物質的量」就是我們現在所稱的「質量」
定義二，The quantity of motion「運動的量」就是我們現在所稱的「動量」
定義三，The vis insita, or innate force of matter, is a power of resisting,就是我們現在所稱的「慣性」
定義四，An impressed force「力」
定義五～八，A centripetial force「向心力」


【問題與討論】

八個定義裡面有四個在講『向心力』，為什麼牛頓這麼重視向心力？








【問題與討論】

請把這三個定律和你現在用的普物課本對照一下，有什麼異同？
請把這三個定律翻譯成中文，看看和你以前高中課本寫的有什麼不同？
讀一下第二定律，你會發現內容並不是F = ma。若用我們現在熟悉的數學式來寫，應該是F = dP / dt 。是誰把它寫成 F = ma 的呢？
為什麼我們的教科書通常寫的都是 F = ma ，而不用動量的形式？


其實前兩個定律，伽利略Galilei、笛卡兒Descartes 就已提出；第三定律：作用力等於反作用力，則為牛頓的。（曹亮吉http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_18_07_1/index.html）


主要參考資料及資料來源： 高湧泉，自然哲學的數學原理，本文原刊於中央日報出版閱讀版<書海六品> 2001/1/31）http://www.math.ntu.edu.tw/library/book/article_001.htm


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《Principia》更詳細的介紹：

Principia計分三篇，在序言裡，牛頓定義了一些力學上的觀念，如慣性、動量以及力等；接著他提出了著名的運動三大定律。根據他的說法，他們是：

定律1： 物體若不受外力的作用，則靜者恆靜，動者恆作等速直線運動。

定律2： 運動量之變化量與作用力成正比例，而作用之方向與力之方向一致。

所謂運動量，牛頓稍早曾解釋過，它就是質量與速度之積；若質量不變，則動量之變化就是速度的變化，即加速度。我們通常將第二定律寫成F=ma，其中F之單位為磅達（poundal），質量m之單位為磅，加速度a之單位為每秒呎。牛頓的第二定律事實上是一個向量說法，及若力有三個互相垂直的分量，則在每個分量上產生其加速度。牛頓在一些特殊問題上也使用了力的向量性質，但最先體會到向量性質的特色的是尤拉。這個定律與亞里斯多德的機械論之關鍵，及速度由力產生不謀而合，但亞里斯多德認為維持運動仍需要力，牛頓的第一運動定律否定了這個觀點。


定律3： 對於每一作用，必有一對應鄉等的反作用，……

我們不擬深涉力學史，但我們必須提醒：前兩個定律是很顯然的，而且在伽利略和笛卡兒的發現和推演中，就有這兩個運動定律的一般化敘述，他們也提過質量（物體產生改變其運動的阻力）和重量（萬有引力對物體質量之作用）的不同，而力的向量性質更將伽利略的原理－拋射體的水平運動和垂直運動可個別處理－推而廣之。



Principia的第一篇

Principia第一篇的開頭是一些微積分定理，其中包括一些涉及最後比值的問題。

其次它討論到含將運動體引向定點（特別是太陽）之向心力運動，並在命題1裡證明等時間內掃過的面積相等（它涵蓋了刻普勒的面積定律）；

接著牛頓討論錐線上的運動，並證明（命題11、12和13）其作用力是與某定點距離平方成反比，他證明這個命題之逆命題也成立（它包含刻卜勒的第一定律）。

在處理過含向心力的問題之後，牛頓導出刻卜勒的第三定律（命題15），並以兩節的篇幅討論錐線的性質，其中的主要問題是如何做出滿足五已知條件的錐線，在實際作圖時，已知條件通常是觀察得到的數據。若已知物體再錐線上運動的時間，它能決定運定的速度和位置；他著手探討拱線（即連接引力中心與在最大距離和最小距離時的的運動體之直線）的運動情形，它們也是以一定的速度繞引中心（即焦點之一）轉動。

第十節則以曲面上的運動為主要討論對象，他們可參考擺的複往運動；在此，牛頓將成就的功勞歸給惠更斯。在研究重力加速度時，他也探討與此有關的擺線、內擺線及外擺線之幾何性質，並求出內擺線的長度（命題49）。

第十一節裡，牛頓根據運動定律和萬有引力定律導出兩個互以萬有引力作用之物體的運動，它們的運動可轉化為一個是固定的，另一個則以橢圓形軌道環繞之。


接著他考慮均勻或不均勻的球面或求體對某定點的引力，並以幾何方式證明（第十二節，命題70）一個很均勻、很薄的球面，對其內部一點之引力為 0；既然對薄球面能得到這樣的理論，則對於多個球面之和亦必為正確，即對於有限厚度的球面，這個結論是正確的（稍後他正也證明這個命題對包含在兩個相似的橢圓體的橢圓殼也正確〔命題91，推論3〕）。

命題71證明均勻的薄球面對於外部之質點的引力可視其質量凝聚在中心一樣，所以其引力與該質點和球心距離之平方成反比。命題73說明均勻球體對其內部的質點之引力與該點和球心的距離成比例；至於對球體外的點，命題74證明此時可將球體之質量投射在球心上；因此，若兩個球互相吸引，前者對後上每一質點的吸引力就如前者的質量集中在球心一樣，反之亦然。因此前者好像一個質點受分布在後者上的質量所吸引，因此後者也如同一個質量集中在球心的質點被吸引一樣。所以他們都可視為質量投射在各球心上。

所有這些都是牛頓的創見，但後來被延伸至密度分布成球形對稱的球上，以及其他滿足距離平方反比定律的引力定律中。



其次牛頓著手探討三個運動體，每一個對其他兩個具引力作用的運動情形，並獲致很接近的結果。這種三個運動體的系統，從牛頓時代以來就是一個很重要的問題，並且至今未被完全解決。



Principia的第二篇

Principia的第二篇討論的對象是在具阻力的介質（如空氣、液體等）中之運動，這也就是流體力學的萌芽。

牛頓在某些問題中假定介質之阻力與速度成比例，在其他一些問題中則與速度之平方成比例，他研究過那些形狀可遭遇最小的阻力（見24章第一節）。他考慮過空氣中及液體中的擺動和拋射運動，其中有一節討論空氣中的波動（及聲波），並獲致聲音在空氣中速度的公式。他也處理過水中的波動。並描述他為決定流體的阻力所做的實驗。這冊書的主要結論是：星球是在真空裡運動；牛頓在此開展了一個全新的園地，但對於流體的運動則尚待耕耘。



Principia的第三篇

第三篇的標題是On the System of the World。

在此他將第一篇裡所得到的結論應用到太陽之運行。他說明如何能藉地球之質量計算太陽之質量，以及有衛星的行星之質量均可用同一方法算出。他算過地球的平均密度大約在水的五倍到六倍之間（現代的數字大約是5.5）。

他說明地球不是正球體而是扁球體，並計算出平扁率是1/230（現代的數字是1/297）。根據一個可見星球的平扁率就可計算其”一日”之長，利用平扁率和向心力，牛頓算出地球的重力場在地球表面各點的變化，因而也導致物體重量的變化。他證明球體的引力並不能視為質量凝聚集於球心。

接著他進行計算春分和秋分的手續，其解釋是基於地球不是正球體而是在赤道地方凸出；因此月球對地球的引力並不若作用於地球的中心，而是隨地軸的方向作周期性的轉變，牛頓算出這個週期大約是26000年，希巴克斯根據觀測所做的推測值對他亦有助益。

牛頓也解釋潮汐的主成因（第一篇，命題66，第三篇，命題36，37）。月球是主要的原因，太陽是次要的原因。他以太陽的質量求出日潮的高度，以觀察子午潮和小潮（太陽與月球完全同側或完全反側）的高度推算出越潮的高度和月球的質量。

牛頓也設法探求太陽對月球的繞地球運行之影響，他已經緯測知月球的運行、拱線（一條自地球中心至最遠位置之月球的線）之運動，節點（月球軌道與地球黃道面之交點）之運動（它作與月球反向的緩慢運動）、出差（the evection月球軌道離心率的週期變化）、歲期方程（the annual equation，每日太陽與地球距離的變化對月球的運行之影響）、地球的黃道面與月球的黃道面斜交之週期等等。當時已知月球運行的不規則性有七項，牛頓又添加了兩項：拱線不等性和節點不等性。他的近似結果只能描述拱線的運動之一半。1752年，古那魯奧（Clairaut）改進計算方法並求出拱線之最大偏轉為3°；然而，很久之後亞當斯（John Couck Adams）在牛頓的論文裡找到正確的計算法。

最後牛頓證明彗星的運行必是受到太陽引力的作用，因為觀測資料上顯示它們的軌道是圓錐曲線。牛頓之所以花那麼多的時間研究月球的運動如我們在前面所提過的，乃是因為這方面的知識對經度測量之改進非常重要，他對於這個問題的研究非常努力，甚至抱怨它令他頭疼。

（資料來源：Morris Kline著，林炎全、洪萬生、楊康景松合譯，數學史－數學思想的發展，九章出版社）

牛頓第三定律
-對於每一個作用力，必定存在着一個大小相等但方向相反的反作用力。
-作用力和反作用力施於不同的物體上。

牛頓第三定律（又叫作用和反作用力定律或作用力和反作用力定律）的內容是，兩個物體之間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，作用在一條直線上。當施加外力於一件物體時(為之作用力)，物體亦必然會產生出另一種大小相等的力(為之反作用力)，但施力方向不同。