古代一位數學家找出圓周率的故事,15點!功課,急用~

　祖沖之是南北朝人 (約429-500)，祖父和父親都曾在朝廷擔任官職，可說是出生在一個世代為官的家庭。

祖沖之在數學上最偉大的成就莫過於「圓周率」的計算，他所計算的圓周率介於3.1415926與3.1415927之間，已準確到小數點以後第七位，是當時最精密的圓周率！這個紀錄一直到西元1424年，才被阿拉伯的數學家阿爾卡西打破，足足保持了九百多年呢！

　　祖沖之以劉徽的「割圓術」理論為基礎研究圓周率。如果利用現在的電腦，想計算祖沖之所知道的圓周率當然是輕而易舉，但想一想，祖沖之可是生長在算盤還沒發明，就連阿拉伯數字也都尚未傳進中國的時代呢！光是利用當時的計算工具「算籌」，要計算如此龐大的數字，作好幾位數的複雜運算就需要超乎常人的毅力和耐心！

他的成就果然讓日後數學家大為讚賞，例如日本數學家三上義夫就曾建議將355/113稱作「祖率」，以紀念為圓周率很有貢獻的祖沖之。此外，在法國巴黎的「發現宮」博物館的牆上，甚至還刻上了祖沖之的名字，以及他算出來的圓周率呢，果然是中國人的驕傲！

類通過很多自然現象，如太陽、月亮、水珠、水面上圈圈的漣漪等，很早就認識了「圓」。古人也發現圓周的長度和半徑的長度的比率是一個常數。這個常數我們便叫它做圓周率（π）。一千九百年前中國的數學書《周脾算經》寫着「徑一周三」，就是說圓周的長度是直徑的三倍，這當然是不夠精確的。

真正求出比較精確圓周率的，是三國時代的劉徽。他所用的方法叫做「割圓術」，算出圓周率等於3.1416。

祖沖之並不滿足於前人的成就，決心把圓周率的精確度進一步提高。

一天，他在思考時，他的十三歲的兒子祖暅（粵音喧）之在旁。祖沖之說：「暅兒，劉徽書上寫的辦法，是可以求出更精確的圓周率的，你會算嗎？」

祖暅之說：「我會，用爸爸教的勾股定理一步一步去求便是了。」

祖沖之再問：「勾股定理是怎樣的呢？」

祖暅之答：「直角三角形斜邊的平方等於其餘兩邊平方之和。」

祖沖之說：「對，道理很簡單，算起來可費勁。我們一起來算吧，你可要非常仔細啊！」

祖沖之先在地上畫了一個直徑一丈的大圓，然後將圓割成6等份，內接一個正6邊形，開始計算；然後依次接上正12邊形、24邊形、48邊形……每次都要按勾股定理用算籌擺出乘方、開方等式，一一求出多邊形的邊長和周長。祖暅之也在一旁幫着搬算籌、記數字，忙個不停。

就這樣算啊算啊，父子倆把地上那個大圓一直分割到內接上正24,576邊形，祖沖之終於算出了圓周率的數值介於3.1415926 與3.1415927之間。

祖沖之計算出小數點後面六位準確數字的圓周率，在當時世界上是獨一無二的，直到一千年後，才有阿拉伯數學家阿爾‧卡西的計算超過了他，所以國際上曾提議將圓周率命名為「祖率」。

　　祖沖之（Zu Chong-zhi，公元429年─公元500年）是中國數學家、科學家。南北朝時期人，字文遠。生於未文帝元嘉六年，卒於齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶源縣）。先世遷入江南，祖父掌管土木建築，父親學識淵博。祖沖之從小接受家傳的科學知識。青年時進入華林學省，從事學術活動。一生先後任過南徐州（今鎮江市）從事史、公府參軍、婁縣（今昆山縣東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻在數學、天文曆法和機械三方面。在數學方面，他寫了《綴術》一書，被收入著名的《算經十書》中，作為唐代國子監算學課本，可惜後來失傳了。《隋書‧律歷志》留下一小段關於圓周率（π）的記載，祖沖之算出π的真值在3.1415926（朒數）和3.1415927（盈數）之間，相當於精確到小數第7位，成為當時世界上最先進的成就。這一紀錄直到15世紀才由阿拉伯數學家卡西打破。祖沖之還給出π的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數第7位，在西方直到16世紀才由荷蘭數學家奧托重新發現。祖沖之還和兒子祖（日恒）一起圓滿地利用「牟合方蓋」解決了球體積的計算問題，得到正確的球體積公式。在天文曆法方面，祖沖之創制了《大明曆》，最早將歲差引進曆法；採用了391年加144個閏月的新閏周；首次精密測出交點月日數（27.21223），回歸年日數（365.2428）等數據，還發明了用圭表測量冬至前後若干天的正午太陽影長以定冬至時刻的方法。在機械學方面，他設計制造過水碓磨、銅制機件傳動的指南車、千里船、計時器等等。此外，他在音律、文學、考據方面也有造詣，是歷史上少有的博學多才的人物。

2007-04-10 18:37:51 補充：
參考資料:http://www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php&http://www.chinalane.org/peop016/

2007-04-10 18:45:50 補充：
參考資料:http://www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php&http://www.chinalane.org/peop016/storytree/index.htmlabout http://www.chinalane.org/peop016/storytree/index.html ：祖沖之　編寫大明曆　　　　重造指南車　　　　計算圓周率

古代中國也有出色的數學研究。在西漢，天文學和曆法專家劉歆（公元前 50 - 公元 20 年) 因被差使去為國家發展一套標準的量度體系，他從製造一個青銅的圓柱器皿，算得 p = 3.15；而另一位天文學家東漢的張衡（78 - 139 年），《後書》記載了他從觀看天星球體而得出圓周率的值約為（= 3.1622...）（以單位圓及其外切正方形的面積比為 5 : 8 來計算）。後來王蕃（217 - 257 年）發現更準確的圓周率數值： p = 3.155...。

顯赫的一頁：劉徽

到了魏晉（約 263 年） ，數學家劉徽是中國數學史上第一個為圓周率定一個有系統及紮實的計算方法，他發展了一個新的圓周率計算方法－「割圓術」：

他先作一個半徑為 10 個單位的圓，再由它的內接正六邊形出發，運用畢氏定理，求得六邊形的面積，這為圓的下限；他再延伸得長方形（如圖 3 示），求得圓面積的上限。劉徽以此作為基礎每次倍增正多邊形的邊數，計算出正十二邊形、正二十四邊形……直至正一百九十二邊形的面積，求得：
3.141024 < p < 3.142704

他在《九章算術注》（載於方田注）中寫道：

「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣」

可見他也有如安提豐和布賴森的「窮舉法」的想法。而他以割圓術計算 p 其實也與阿基米德的相似：他們都運用了「窮舉法」的意念（每一步倍增多邊的邊數），兩位數學家都分別是古代東西方唯一計算到 p 上下限的數學家；不同的是，劉徽只用內接多邊形和相關的面積計算 ，而阿基米德則用外切多邊形和對應的內接多邊形的周界計算 。不過，礙於科技資訊不發達，相信劉徽是獨立開創以多邊形面積迫近圓面積的窮舉法－「割圓術」來找出圓周率的值的。最後，劉徽更求得正 3072 邊形的面積，從而得出：

p = 3927/1250 = 3.1416

即 p 的值準確至小數後三個位，後人稱為「徽率」。

去http://db.math.ust.hk/articles/history_pi/c_history_pi.htm　　
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祖沖之是劉宋時代最傑出的數學家、天文學家。他曾修訂曆法（被用過一段時期，以後改朝換代，曆法也隨之改了。）他從天文的觀察中，得到一些極精確的計算。例如他曾算得月球繞地球一周為時 27.21223 天，這與現代公認的 27.21222 天，幾無相差。憑這一點地就該當得上月球榮譽公民了。

祖沖之的另一項成就，是他對圓周率 π 的精密計算。這裏先要一提的是，在西方亞基米德（公元前250年）已經得到過 的近似值，公元後150年左右。希臘的天文家們，也曾用過 3.141666 的值。這方面我國稍為落後，但到三國時代，約在公元250年左右，劉徽曾得到過 3.14159 的值。祖沖之在這裏作了一個大躍進。他先給了兩個簡易的有理式近似值，一個叫「約率」，就是亞基米德的 22/7，一個叫「密率」，是 355/113，密率已經有七位精確數字；這個分數，一直等到一千年以後才在歐洲被發現。祖沖之認為這兩個近似值仍然不夠精確，因此他又得到了一個更精確的估計：







小的叫「朒數」，大的叫「盈數」。同樣精確的近似值，在歐洲要到1593年才由 Vieta 得到，他的數值恰好是朒數和盈數的中間值。
這裏我附帶一句，歷史上先後有很多人做過π的計算。在我們現在看來，這種計算本身並沒有多大的數學價值，（尤其是在π被發現是無理數之後。）但是 π 的歷史，至少能夠反映出當時社會的科技進步程度。我國科學，本來就不如文史之受重視，等到八股時代，地位更低，先人的科技貢獻多被遺忘，所以到明清時代，一般所用π的數值，竟然退步到 （差不多是 3.16）！

祖沖之這些精確的計算，到底用的是什麼方法，我們已經無法知道。他寫過一本《綴術》，一定是當時最艱深的數學巨著，因為以後《隋書》中會提到這書，說「學官莫能究其精奧。是故廢而不理」。可惜這書早已失傳，李約瑟書中曾提到過：《綴術》的最後一些版本，竟被後世的文人用來作為草稿紙，在上面練字！

這裏只有一點猜測可以一提。數值計算方法中，有一種叫做 Divided difference 的方法，在我國早已有之，叫做「招差法」。根據李約瑟說，最遲在公元665年左右，李淳風在製造曆法時已經用過，但其創始可能更早。錢寶琮曾根據一些歷史資料，判斷說祖沖之天文計算上的方法，就是這個「招差法」。懂得一點 Divided difference 的人，大概也會同意，至少「綴」這個字，似乎和 Divided difference 的技巧多少有點貌似。

下面我要介紹的，是祖沖之證明球體體積公式的方法。本文取材自 T. Kiang 寫在《Mathematical Gazette》中的一篇文章。至於原始資料出自何處，Kiang 文中並未提及；筆者對中國數學史本無研究，這次匆促成文，也沒有去查一查錢寶琮的書。但本文的主旨不在歷史或考證，希望讀者原諒。祖沖之的證明，只用了簡單的數學，但其過程可說是既精彩又曲折，同時還顯示了一些數學的精神以及數學中美麗的技巧（數學中也有令人厭惡的技巧）。這樣令人拍案驚奇的證明，本應廣為傳播，更何況它是我們一干五百年前祖先的發現！

讀者或許可以允許我再嚕嗦一些才進入正題。大家都讀過，半徑為 r 的圓，其面積 A(r) 是 ；半徑為 r 的球，其體積 V(r) 是 。但是這些公式是怎樣得來的？A(r) 的公式還不難想像 註1 ，但是 V(r) 裏面那個 倒有些奇怪。各位等到大一讀到微積分的時候，這兩個公式只要利用微積分的方法，不消一兩分鐘就可以得到了。但是有不用微積分的辦法嗎？嚴格地說當然沒有：因為你怎樣地說一個東西的面積或體積呢？這裏便含有積分的基本觀念在了。約莫地說，一個「東西」的體積（或面積）是它許許多多極小極小的「基本東西」的體積（或面積）之和的極限－這句話真難懂！這也難怪，因為它不但含糊，而且本身也不嚴密！讀者如果沒有接觸過微積分，請千萬不要被它嚇唬住，你可不必理它，我也不再提它。下面要用到的一個積分的基本原則，相信應該是各位可以接受作為「直觀的」、「常識的」原則。

我這裏要提一提的是，雖然微積分可說是牛頓等人的產品，但是其中積分的精神和涵義，在東方和西方卻都早已有之。西方的亞基米德，對積分的意義早有清楚的瞭解及某種程度的運用。至於積分的一般方法及技巧，才是要等到微分理論的建立以後始得系統化（此所謂 "Fundamental Theorem of calculus"）。我要強調的是，祖沖之的證明，當然有積分的精神，但並不需要（也不可能要）用到微積分的方法。下面我要用到的積分的基本原則，可以如下表之（一般書中稱之為Cavalieri's principle）：


兩個胖子一般高，
平行地面刀刀切；
刀刀切出等面積，
兩人必然同樣胖。
這個「胖子原理」當然也適用於平面上的面積，我們不再重述。一個平行四邊形的面積，就是與它同底等高的長方形的面積；這可說是這個原理最簡單的應用。