Japan - 熱海 (1)

1) 特別料金是乘特急列車的附加費. 日本的火車費, 包括乘車券費(按里程的基本收費), 付此車費可以乘坐普通車和快速車. 如果乘坐特急火車, 便要加特急券費, 即你現在問的特別料金.
由東京至熱海的基本乘車費為1890圓. 乘普通車, 即使趕得上快速班次, 都要二小時. 你在yahoo查到的那個方案是最快的, 是乘普通車去品川, 換乘"新幹線"特急至熱海, 全程只需一小時多一點, 不過新幹線那一程要加1680圓特急料金, 總車費3570圓.
正如樓上朋友所言, 從新宿前往熱海的交通方案很多, 不一定要乘昂貴的新幹線, 例如: 新宿-->湘南新宿ライン(line)-->橫浜-->東海道本線普通車--->熱海 (1890); 新宿-->山手線普通車-->品川-->アクティー(acti號)--->熱海 (1890), 時間約1小時50分鐘.

2) 踊子號是JR火車的一種. JR火車是日本國鐵的總稱, 火車網絡遍全國, 分為許多線路, 如我們熟悉的東海道本線, 山手線等. 除JR外, 尚有其他私營鐵道公司(如小田急)經營其他線路, 與JR網路配合, 形式更完善的鐵道網路系統.
JR轄下有多種"特急"列車, 通常是長途列車, 停站少, 車速快, 一部列車貫通多條鐵道線直達目的地, 通常稱為XX號. 踊子号(Odoriko) / 超景踊子号(Super-view Odoriko) 就是這些特急列車的一種. 它們由東京直達伊豆半島的下田,中間停少數大站如橫浜, 熱海, 但不停新宿. 踊子号(Odoriko) 和 超景踊子号(Super-view Odoriko) 的行車線路相同, 不過發車的時間不同, 每天約有9班踊子號, 4班super-view, super-view 的車更豪華一點, 車速微微快一點, 特急車費再貴一點.
other questions
(1) 新幹線不相等於JR, 是JR所經營的一種全國性特急列車系統, 即子彈火車. 從新宿從熱海, 正如上文所說, 如乘東海道本線普通列車(要在橫浜或品川換乘, 因新宿不在東海道本線上), 只需付乘車券1890. 乘特急踊子號 或新幹線才要加特急費.
不用返回東京駅乘車. 不錯, 踊子號和新幹線都在東京發車, 可是這些車子在較近新宿的品川或橫浜都有停車.

(2) 踊子號比普通列車貴, 因要加特急券. 只停大站, 所以 只可在東京, 品川, 橫浜等大站上車. 而普通站站停的JR列車就在很多站上車也可以. 買車票時要聲明坐便宜的普通車還是坐貴車 (如踊子號)
比踊子號便宜的方法, 在上文問題(2) 已介紹 (1890円). 時間1小時50分. 踊子號只需1小時.

1) 特別料金 is the extra charge for express train like 新幹線. if you take 湘南新宿ライン特別快速 from 新宿 to 横浜 and then change 東海道本線 to 熱海, it only costs Yen 1890, but need 1hour 50 minutes journey.
2) 踊子号(Odoriko) / 超景踊子号(Super-view Odoriko) runs between 東京/新宿＜＝＞熱海, it's scenic train, not equal to JR火車