!!!!!!數學!!!!

(一) 三角函數
[編輯] 定義

[編輯] 坐標系中


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Trigonometric_function1.gif/280px-Trigonometric_function1.gif



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

設α是平面直角坐標系xOy中的一個象限角，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/c/a/acab7b73df4fbfbabce4e9077c511055.png
是角的終邊上一點， 0" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/4/6/94681ab2d539a92a29764a2db509f7ee.png">是P到原點O的距離，則α的六個三角函數定義為：




函數名
定義
函數名
定義

正弦

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/0/e/40e7cf1bd1ab28b7eba442491061debb.png

餘弦

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/1/c/51cb136d37f08939017760e1c88b06ba.png


正切

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/1/2/a1264150d7deb9b43f369e5a2095aa30.png

餘切

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/6/0/b60e73fd40158d21158ab9c91d39026d.png


正割

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/2/d/82d9f19032d2789745b91d36fcd6eb97.png

餘割

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/0/b/a0b568d1188bdbc51e336d332822fee2.png


[編輯] 直角三角形中

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/6/67/Tri_def.png

在直角三角形中僅有銳角三角函數的定義。

一個銳角的正弦是它的對邊與斜邊的比值。在圖中，sinA = 對邊/斜邊 = a/h。

一個銳角的餘弦是它的鄰邊與斜邊的比值。在圖中，cosA= 鄰邊/斜邊 = b/h。

一個銳角的正切是它的對邊與鄰邊的比值。在圖中，tanA = 對邊/鄰邊 = a/b。



[編輯] 分析學定義
用泰勒級數可以直接定義三角函數：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/c/d/6cd3737be7a2653367595e4365ba58f9.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/4/ef491e731c806ce36b37ddb84445ae22.png


[編輯] 三角函數的初等性質

[編輯] 三角恆等式
三角函數的特殊性質使得它們之間存在許多恆等式。

[編輯] 同角三角函數間
利用三角函數的定義，可以得到以下恆等式：

倒數關係：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/a/69ac2f31d58a947db11ec26b312da4fb.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/8/f/58fc192117ccdfc212e7cbf464777532.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/4/8/548d04b318918a80ec6b38eaaab9170a.png

因為有了倒數關係，一般只使用sin、cos、tan三個函數。

平方關係：

sin2α + cos2α = 1
sec2α − tan2α = 1
csc2α − cot2α = 1

比值關係：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/a/d/3ad7c135953c64bb238f0c4ef59816df.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/4/c/d4c6bf2528cdcca3f55cb6bfc35c1ea7.png


二倍角公式：

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α − sin2α = 2cos2α − 1 = 1 − 2sin2α

三倍角公式：

sin3α = 3sinα − 4sin3α
cos3α = 4cos3α − 3cosα

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/f/6/bf6c91a41ae281ca69409b4abf91bccf.png


[編輯] 半角公式
這一組公式可以由二倍角公式變形得到。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/a/f/2af86fdbf036091f9eaa8e818a6cd498.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/8/1/f812e5be7f71d53db0dd71a2c2909b99.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/3/b/93bf470cd761c5bee978ff25143b31ef.png





函數名
0

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/d/e/cdea1ea09655101bf5fc1204e5ed3d31.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/c/c/2ccbf7348191b7a60dc97900000b9147.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/4/a/d4aa55219ea9047bd46fc7b25e769d7a.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/1/2/412fd7d5941c215da0e84593f58dd7cb.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/1/4/d1472055d7fc2526bf613b8ca7d2f55f.png


sin
0

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/d/d/7dddfbcc47a006e7e1a8863048711244.png
}-

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/d/c/3dcde285c447d48b6bc42bb636112d6c.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/4/9/149d81a2903ae7ab06daeb3e2b43cf41.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/6/e/96e30496398fee824c48a72e24e554ab.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/6/2/a6201be31a9e3f94b5b06e53d5a04a8e.png


cos
1

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/6/2/a6201be31a9e3f94b5b06e53d5a04a8e.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/6/e/96e30496398fee824c48a72e24e554ab.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/4/9/149d81a2903ae7ab06daeb3e2b43cf41.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/d/c/3dcde285c447d48b6bc42bb636112d6c.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/d/d/7dddfbcc47a006e7e1a8863048711244.png
}-

tan
0

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/1/6/0164bb34e26a649dd43ad221dae6a668.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/a/d/2adc0aff144149dd3213c64d2671994e.png

1

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/d/2/7d2db2b2c90be143cb85c105105317da.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/b/9/5b94c53425824c1fb88a619c13afaa4e.png


cot

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/d/5/dd516031da28c3c8a977198ee79dce97.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/b/9/5b94c53425824c1fb88a619c13afaa4e.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/d/2/7d2db2b2c90be143cb85c105105317da.png

1

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/a/d/2adc0aff144149dd3213c64d2671994e.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/1/6/0164bb34e26a649dd43ad221dae6a668.png


sec
1

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/8/0/d80d09ba97c1bba2365ba67f5b6e1ae2.png
}-

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/3/0/b30a5673677f136892b72a41f994fc2c.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/d/0/ad0151b1097bc54eb3a5a7900471907e.png

2

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/1/f/51f9493ef33bdd3e57b9ef9201cde009.png


csc

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/1/f/51f9493ef33bdd3e57b9ef9201cde009.png

2

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/d/0/ad0151b1097bc54eb3a5a7900471907e.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/3/0/b30a5673677f136892b72a41f994fc2c.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/8/0/d80d09ba97c1bba2365ba67f5b6e1ae2.png
}-

(二)勾股定理
設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼

a2 + b2 = c2

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Pythagorean.svg/180px-Pythagorean.svg.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
直角邊的平方和等於斜邊的平方

幾何學
維基百科，自由的百科全書
(重定向自幾何)
跳转到： 导航, 搜索
幾何學是研究空間關係的數學分支，有時簡稱為幾何。幾何是近代數學的兩大領域之一，另外一個是研究數量關係的領域。現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高，並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合，很多分支幾乎無法認出是從早期的幾何學傳承而來。

目錄 [隐藏]
1 簡史
2 古代幾何學
3 名稱的來歷
4 分支學科
5 參考文獻



[編輯] 簡史
幾何學有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何基於一組公設和定義，人們在公設的基礎上運用基本的邏輯推理構做出一系列的命題。可以說，《幾何原本》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。

一千年後，笛卡兒在《方法論》的附錄《幾何》中，將坐標引入幾何，帶來革命性進步。從此幾何問題能以代數的形式來表達。實際上，幾何問題的代數化在中國數學史上是顯著的方法。笛卡兒的創造，是否有東方數學的影響在裡面，由於東西方數學交流史研究的欠缺，尚不得而知。

歐幾裡得幾何學的第五公設，由於並不自明，引起了歷代數學家的關注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。

幾何學的現代化則歸功於克萊因、希爾伯特等人。克萊因在普呂克的影響下，應用群論的觀點將幾何變換視為特定不變數約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學的公理化基礎。應該指出幾何學的公理化，影響是極其深遠的，它對整個數學的嚴密化具有極其重要的先導作用。它對數理邏輯學家的啟發也是相當深刻的。


[編輯] 古代幾何學
幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數學），古印度（參看古印度數學），和古巴比倫（參看古巴比倫數學），其年代大約始於公元前3000年。早期的幾何學是關於長度，角度，面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪，建築，天文，和各種工藝製作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的複雜的原理，以至於現代的數學家很難不用微積分來推導它們。例如，埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐台（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數表。

中國文明和其對應時期的文明發達程度相當，因此它可能也有同樣發達的數學，但是沒有那個時代的遺跡可以使我們確認這一點。也許這是部分由於中國早期對於原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。


[編輯] 名稱的來歷
幾何這個詞最早來自於希臘語「γεωμετρία」，由「γέα」（土地）和「μετρε ĭν」（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語化為「geometria」。中文中的「幾何」一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。

1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在著另一種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》後9卷出版後，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有「形學」一次的使用出現。


[編輯] 分支學科
平面幾何
立體幾何
非歐幾何
羅氏幾何
黎曼幾何
解析幾何
射影幾何
仿射幾何
代數幾何
微分幾何
計算幾何
拓撲學

[編輯] 參考文獻
《世界數學史簡編》，梁宗巨，1981年，遼寧人民出版社，第90頁~第92頁



幾何術語
（ 檢視 • 討論 • 編輯 • 歷史 ）
點、線、面、體
點： 頂點 | 切點
線： 直線 | 平行線 | 曲線 | 切線 | 線段 | 弦
面： 平面 | 曲面 | 邊 | 角
體： 立體
常見幾何形狀
線
螺線 | 圓錐曲線
平面形狀
正多邊形 | 三角形 | 四邊形 | 正方形 | 矩形（長方形） | 梯形 | 平行四邊形 | 菱形 | 圓形 | 橢圓 | 扇形 | 弓形
立體
正多面體： 正四面體 | 立方體（正六面體） | 正八面體 | 正十二面體 | 正二十面體
星形正多面體： 小星形十二面體 | 大十二面體 | 大星形十二面體 | 大二十面體
其它立體： 長方體 | 棱錐 | 圓錐 | 球 | 圓球 | 橢球 | 圓臺 | 圓柱
幾何特徵
長度 | 面積 | 體積 | 表面積 | 周長 | 圓周率 | 歐拉特徵數
基本幾何慨念
相似 | 全等 | 平行 | 垂直 | 距離 | 比例
幾何理論和方法
定理 | 公理 | 證明 | 黃金分割 | 尺規作圖
幾何工具
尺 | 圓規