有關黃金比的問題~~請幫幫手...唔該~

黃金分割
文/書鴻


圖片參考：http://hk.epochtimes.com/archive/Issue14/Bd10358_.gif









　



你聽過黃金分割嗎？黃金分割是一個比例（ratio）。把一條直線分為兩部份，一份較短（設為一米），另一份較長（設為x米），直線的總長即（1＋x）米。短的一份與長的一份比例為 。而長的一份，與直線的總長，比例則為 。如果兩個比例相等，那麼，這條直線就是按黃金比例分割。x的數值，可從下列二次方程式中解得：

x ＝ 1
1+x x

x2 - x- 1＝ 0

x ＝ 1+ 0.5x51/2

x ＝ 1.618 或 -0.618

把線條按1比1.618的比例分割，究竟有什麼特別？要找到答案，我們就要追朔到公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯（Pathagoras）。對於畢氏，相信讀者一定不會感到陌生。Pathagoras theorem（畢氏定理），即任何直角三角形的斜邊二次方值，等於另兩邊的二次方和（即 c2 ＝ a2 ＋ b2），是任何中學生都認識的幾何定理。有趣的是，此定理原來在畢氏出生前一千年已廣為人知，並非源出於他。相反，許多人不知道的是，在古希臘年代，他是以始倡黃金分割馳名的。
古埃及人發明幾何，但他們對數字興趣不大。數字對他們來說，主要就是一件用來數算日子，與量度土地的工具。古希臘人秉承古埃及人的智慧，發揚光大，很快就青出於藍，比起他們的啟蒙老師，他們對數字就嚴肅得多，對他們來說，數字不單止是數字，數字還蘊含著豐富的哲學內涵，甚至與哲學有不可分割的關係。
由於古希臘人秉承了古埃及人在幾何學上研究的成果，他們就沉醉於研究數字與形狀的關係。因而就出現了大家熟悉的形狀數字，如方形數字（square numbers ：1，4，9，16等），和三角形數字（triangle numbers ：1，3，6，10等）。（圖5）
畢達哥拉斯是當代著名的思想家、哲學家和數學家，他自然就是這方面研究的佼佼者。相傳，有一天當他把單弦琴弦線在約五分之二長度的地方用承托托著時，兩邊就能彈出極之美妙的和音，他就把這比例命名為「完美的五分」（a perfect fifth）。對沉醉數學的畢氏來說，玩單弦琴並非為奏樂，而是研究數學的一個行為。他想，弦線既然可擁有一個完美的分割點（或作比例），那麼所有線條、形狀、物體、萬事萬物，乃至宇宙，是否都應該有同一個完美的比例。這比例既然能表現音樂的完美，是否也能表現線條、形狀、物體、乃至宇宙萬事萬物的完美呢？
畢氏從事了多方面的研究，其中包括天文、美學、音樂、數學、和自然學，去證明他對這一個完美的比例的信念。他和古希臘的許多數學家，窮畢生精力去研究比例，他們把美妙的比例分為十級，最高級的，亦即最美麗的比例，就是上文所述的黃金分割。
畢氏的偉大，在於他觀察入微。宇宙萬物，所有的動物，包括人類，天上的飛鳥，以至海裏的魚，昆虫等，擁有完美比例者其實俯拾皆是，常人察身而過，稍具藝術觸角者在欣賞之餘，可能會驚歎一聲造物之奇妙，而畢氏憑著他那超人敏銳的觀察力，把宇宙賦與萬物的美，予以歸納，並系統的展現出來，給予許多的藝術家，數學家，建築師，以至工程師等靈感的泉源，創造了無數令人歎為觀止的作品。
除了圖示的例子，還有金字塔的高度與底部邊長成黃金比例；你每天看的報章，無論你把它對摺多少次，它的長闊比都呈現黃金比例；人體結構有更多的黃金比例的例子，如人體（總身高）的黃金分割點就在肚臍。面部（總面長）的黃金分割點在眼眉。眼至下巴的黃金分割點在鼻孔位置。你能從你的週圍，找出更多的黃金比例嗎？
畢氏只是闡述了那直向、上與下的，以及平面的長與闊的「完美」比例。其實，完美的比例又何止十級？一隻小小的甲蟲，花叢中翩翩起舞的蝴蝶，天空中飛翔的兀鷹，完美的人體，以至所有的生物，不都擁有橫向的左右對稱，一比一，更完美的比例嗎？而那些宏偉的古建築，如巴特農神殿（圖10），以至中國的故宮，印度的泰姬陵，或近代巴黎的凱旋門，又是否建築師們從這左右對稱的完美比例得到靈感設計而成？我相信答案是肯定的。只是我們習以為常，不以為意，忽略了那最平凡，但又最完美的比例！
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許多畫作、雕像，都有「黃金分割」的佈局：
圖1.維納斯的誕生。
圖2.米勒「拾穗」的人物安排。
圖3.古希臘雕塑「維納斯」，全身不但呈現靜中有動的平衡感，同時是黃金比例的完美呈現。
圖4.達文西的「蒙娜麗莎的微笑」。

大自然與幾何圖形中的「黃金分割」：
圖6.畢氏和他的追隨者組織的教派的最神聖標誌「等邊五角形及連接對角組成的五角星」。你能數出這圖形內有多少線條按黃金比例分割嗎？有多少對邊長呈黃金比例呢？
圖7.大自然的海螺。

「黃金分割」在建築物上的體現：
圖8.世界上最高的建築物「多倫多電視塔」，其觀景台以下與以上的高度比例正好是1.618。
圖9.著名的巴黎「埃菲爾鐵塔」，其第二層以上與以下的高度比例也正好是1.618。
圖10.處處體現黃金比例的偉大古建築，位於雅典的「巴特農神殿」。




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圖一

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圖二

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圖三

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圖四

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「黃金矩形」與黃金比

。。據說希臘的數學家們認為長方形的長度約為闊度的1.62倍時最為和諧、最為漂亮，特別稱這些長方形為「黃金矩形」--矩形是長方形的別名。

。。黃金矩形經常出現在古希臘的藝術及建築上。在希臘的Partheron神殿及文藝復興時期義大利一些畫家的作品中，都能找到黃金矩形。

。。十九世紀未，德國兩位心理學家，在一連串的心理測驗中，發現大部份人在選圖片、卡片及其它長方形物件時，經常不自覺地選擇了黃金矩形。

。。上文提及的1.62倍只是一個約數而已，準確的數字應為 ，其中是的平方根。這個數字是怎樣得來呢﹖我們先準確地界定（定義）何謂黃金矩形。

。。首先將一個長方形為ａ米﹔闊為ｂ米剪去邊長為ｂ米的正方形。若餘下的長方形的長度與闊度的比例相等於原先長方形的長度與闊度的比例時，我們稱這個長方形為黃金矩形（參考下圖）。



有時我們稱1.61803398這個數為黃金比。涉及黃金比的例子尚有很多，下列便是其中一些﹕

若司儀、天氣報告員、新聞報導員站在舞台或螢幕的正中（即司儀將舞台分為1:1），給人的感覺較為呆滯刻板。若司儀站在一旁而將舞台約分為1.62:1時，則予人較為生動活潑的感覺。
若人的身高是肚臍至腳趾高度的1.62倍時，我們會覺得此人雙腿修長，體態優美。據說很多著名模特兒都有這樣的身材比例。
應用黃金比於成份／劑量測試，稱之為優選法。
亦有些人應用黃金比率於股票買賣中，計算出股價調整或反彈的幅度，定下止賺或止蝕、入貨或沽貨的價位。