數學題,諗極都唔得,數學高手請進(10)

首先, 凡是奇數都可寫成 2n + 1, 其中 n 為整數.
然後, 其平方為:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Proof8.jpg

即無論 n 為何值時, 只要是整數, (2n + 1)2 除 8 時的餘數就是 1.

因正奇數與負奇數的平方相等,所以只要證正奇數便可
任意一個奇數都可表示成2n-1的形式,其中n為正整數
而某數除以8餘係1可表為某數-1能被8整除.
即命題可轉為P(n)=(2n-1)^2-1能被8整除

(1)當n=1時,
(2-1)^2-1=1-1=0能被8整除
所以P(1)成立

(2)設n=k時,P(k)成立
即(2k-1)^2-1=8M,(其中M為整數)
當n=k+1時,
[2(k+1)-1]^2-1
=(2k+1)^2-1
=4k^2+4k+1-1
=(4k^2-4k+1)-1+8k
=(2k-1)^2-1+8k
=8M+8k
=8(M+k)
因M和k為整數,所以M+k為整數
即P(k+1)成立
根據數學歸納法知對於所有正整數n命題成立.

因正奇數與負奇數的平方相等,所以只要證正奇數便可
任意一個奇數都可表示成2n-1的形式,其中n為正整數
而某數除以8餘係1可表為某數-1能被8整除.
即命題可轉為P(n)=(2n-1)^2-1能被8整除

(1)當n=1時,
(2-1)^2-1=1-1=0能被8整除
所以P(1)成立

(2)設n=k時,P(k)成立
即(2k-1)^2-1=8M,(其中M為整數)
當n=k+1時,
[2(k+1)-1]^2-1
=(2k+1)^2-1
=4k^2+4k+1-1
=(4k^2-4k+1)-1+8k
=(2k-1)^2-1+8k
=8M+8k
=8(M+k)
因M和k為整數,所以M+k為整數
即P(k+1)成立
根據數學歸納法知對於所有正整數n命題成立.

Any odd number, is an even number + 1
Let the odd number be (2x+1)
So, (2x+1)^2 = 8Q + R (Q= quotient when the term is divided by 8, and remainder=R).
==> 4x^2 +4x +1 = 8Q + R
==> 4x (x+1) +1 = 8Q + R
If x is even, then (x+1) is odd, and if x is odd, (x+1) is even;
so x(x+1) must be divisible by 2
Let x(x+1) = 2k where k is a positive integer

Then, 4 ( 2k ) + 1 = 8Q + R
==> Q = k and R = 1, that is remainder must be 1.

任意一個奇數的2次除以8的餘數都係1
是5同9