請解答數學問題

排列的任務是確定 n 個不同的元素的排序的可能性。從右邊的示意圖可看出，3 個不同顏色的彩球一共有 6 種不同的排列方式，因此有如下定理：
n 個不同的元素可以有 n! 種不同的排列方式，即 n 的階乘。

因此上面的例子的演算法是 3 ! = 6
另一個問題，如果從 n 個元素中取出 k 個元素，這 k 個元素的排列是多少呢？公式如下：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/d/e/1de3fe69be79ef385bf1290624e73dca.png

例如，在賭馬遊戲中一共有 8 匹馬參加比賽，玩家需要在彩票上添入前三位勝出的馬匹的號碼，按照上面的公式，n ＝ 8，k ＝ 3，玩家一共可以添出的 3 匹馬號的排列數為：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/b/4/3b4d37e45c3e889bdb29ba8c96d3e4d2.png

因為一共存在 336 種可能性，因此玩家在一次添入中重獎的機率應該是：
P = 1 / 336 = 0.00298
以上提到的都是在 k 不發生重複的情況下的排列。如果在 n 個元素中取出 k 個元素進行排列，這 k 個元素可以重複出現，那麼排列數則有如下公式：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/2/e/02ebd7524d465a8cad0ca5d98e450829.png

還是上面的例子，k 可以重複出現，這意味著玩家可以在前三名的位置上添入同一匹馬號，因此在這種情況下可能出現的排列總數為：
83 = 512
這時的一次性添入中將的機率就應該是：P = 1 / 512 = 0.002
另一個來自數字技術的例子，在二進位中只有 0 和 1 兩種狀態，一個有 x 位的二進位數字可以有 2x 種排列方式，也即可以表達 2x 個不同的數字。
在組合數學，一個集的元素的組合是一個子集。S的一個k-組合是S的一個有k個元素的子集。若兩個子集的元素完全相同並順序相異，它仍視為同一個組合，這是組合和排列不同之處。
對於有n個元素的集S，當中k-組合的數目表示為二項式係數C(n, k)。

計算從有n個元素的集S中，選取k個不同元素組成的有序列的方法的數目，即是k的排列的數目，P(n,k)。
計算同樣的k個元素不同排列的數目，P(k,k)。這就是它們在上面的重覆出現的次數。排列的數目除以每種組合重覆出現的次數，就得到C(n,k)：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/2/9/d29e58c1a6783ade332b5c33b28be224.png
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根據P(n,k)的定義：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/3/d/63d653f96eba79cbf3ab69b7c7bc64ce.png
，


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/c/c/ecc9543d1e30ad1593ee7085d9587092.png