F.4 A-MATHS,,微分

已知曲線C:y=x3-3x2+2x-1
A(1,-1),B(a,b)為曲線上的兩點,而O為原點
a.證明曲線在A點的切線通過O點
將曲線 C 微分
(dy/dx) = 3x2 – 6x + 2
所以A點切於曲線的斜率(m)為
m = 3(1)2 – 6(1) + 2 = -1
所以這直線
L1：y – (-1) = (-1)(x – 1)
L1：y + 1 = -x + 1
L1：x + y = 0
由於 L1 的常數項為零，所以是過原點。

b.若曲線在B點的切線通過O點,證明2a3-3a2+1=0
若過B點切於曲線的斜率(m)為
m = 3(a)2 – 6(a) + 2 = 3a2 – 6a + 2
所以這直線
L2：y – b = (3a2 – 6a + 2)(x – a)
L2：y - b = (3a2 – 6a + 2)x –a(3a2 – 6a + 2)
若 L2 過原點，則可用(0,0)代入L2
則 -b = -a(3a2 – 6a + 2)
b = 3a3 – 6a2 + 2a ____(1)
同時 B(a,b)是在 C 上的一點。將 B 代入曲線 C
b = a3 – 3a2 + 2a – 1 [將 (1) 式代入這式]
3a3 – 6a2 + 2a = a3 – 3a2 + 2a – 1
便可得
2a3 – 3a2 + 1 = 0

c.由此,試求從O點到曲線的切線方程
因2a3 – 3a2 + 1 = 0
(a – 1)(2a2 – a – 1) = 0
(a – 1)(2a2 – a – 1) = 0
(a – 1)2(2a + 1) = 0
a = 1 或 a = -1/2
L2：y - b = (3a2 – 6a + 2)x –a(3a2 – 6a + 2)
b = -a(3a2 – 6a + 2)，所以
L2：y = (3a2 – 6a + 2)x
將 a = 1 代入上式
L2：y = (3 – 6 + 2)x = -x
L2：y = (3a2 – 6a + 2)x
將 a = -1/2 代入上式
L2’：y = (3(-0.5)2 – 6(-0.5) + 2)x = 5.75x
所以它的切線方程式為
y = -x
或
y = 5.75x