數學為什麼會有代數

代數(請看紅字)
代數是研究數量、關係與結構的數學分支。基本代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什麼，以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。
代數可以說是對初等代數的推廣，前者較之後者要廣泛得多。代數的研究對象不是數字，而是可以有豐富內涵的符號、變數和集合元素。加法與乘法被看成是一般的運算，對它們加以準確定義，方可引出結構，如：群、環、域。
代數、幾何、分析和數論是數學的主要分支。



分類
代數大致分為以下幾類：


基本代數：學習以位置標誌符(place holders)標記常數和變數的符號，與掌控包含這些符號的表示式及方程式的法則，來記錄實數的運算性質。(通常也會涉及到中等代數和大學代數的部分範圍。)
抽象代數：討論代數結構的性質，例如群、環、域等。這些代數結構是在集合上定義運算而來，而集合上的運算則適合某些公理。
線性代數：專門討論向量空間，包括矩陣的理論。
泛代數, 討論所有代數結構的共有性質。
計算代數：討論在電腦上進行數學的符號運算的演算法。
在一些高深的研究裡，像是群、環、體和多元環等公理化代數系統裡都會有一和其代數結構相合的自然幾何結構(拓撲空間)，以下列出幾個泛函分析的領域：

賦範向量空間
巴拿赫空間
希爾伯特空間
巴那赫代數
賦範代數
拓撲代數
拓撲群

基本代數

主條目：基本代數

基本代數是代數中最基本的一種類型。其教導對象為假定不具有對算術基本原則之類的數學知識之學生。雖然在算術裡，只有數和其算術運算(如加減乘除)會出現，在代數，數則通常會以符號(如a、x、y等)來標記。這是很有用的，因為：

它允許對算術定律之一般性公式的描述(如a+b=b+a∀a,b)，且此為對實數性質做系統性描述的第一步。
它允許指涉未知數、將方程公式化及學習如何去解答(如「找一數x，使其3x+1=10的方程成立)。
它允許將函數關係公式化(如「若你賣了x張票，則你將獲利3x-10元，亦即f(x)=3x-10，其中f為其函數，且x為此函數輸入的值。」)。

抽象代數

主條目：抽象代數



參見：代數結構
抽象代數將基本代數和數的算術中的一些相似概念延廣成更一般的概念。
集合：不單只考量數的不同類型，抽象代數處理更為一般的概念－集合：一群稱為元素之物件的聚集。所有相似類型的數都是一種集合。另一些集合的例子有所有兩階方陣組成之集合、所有兩次多項式組成的集合、所有平面的二維向量所組之集合、及如如整數同餘n的群之循環群等各種有限群。集合論是邏輯的一個分支且技術上不屬於代數的一種分支。
二元運算：加法(+)的概念被抽象化成了一種二元運算，稱之為*。對於在集合S內的兩個元素a和b，a*b會給出集合內的另一個元素(技術上，此條件稱之為封閉性)。加法(+)、減法(-)、乘法(×)和除法(÷)都是二元運算，且矩陣、向量及多項式等之加法和乘法也是二元運算。
單位元素：零和一兩個數被抽象化成單位元素的概念。零是加法的單位元素而一則是乘法的單位元素。對於一任意的二元運算*，單位元素e必須得滿足a*e=a和e*a=a兩個條件。其在加法中為a+0=a和0+a=a，而在乘法中則為a×1=a和1×a=a。但若取正自然數和加法，則其不存在有單位元素。
逆元素：負數導致出了逆元素的概念。對加法而言，a的逆元素為-a，而對乘法而言，其逆元素則為1/a。一通常之逆元素a-1必須滿足a*a-1=e和a-1*a=e之性質。
結合律：整數的加法有一稱為結合律的性質。亦即，數相加的順序不影響其總和。例如：(2+3)+4=2+(3+4)。一般化地，其可以被寫成(a * b) * c = a * (b * c)。此一性質在大多數的二元運算中存在著，但不包括減法和除法。
交換律：整數的加法有一稱為交換律的性質。亦即，數被加的順序不影響其總和。例如：2+3=3+2。一般化地，其可以被寫成a * b = b * a。只有一些二元運算擁有此一性質。其在整數的加法和乘法上成立，但在矩陣乘法上則不成立。

群

主條目：群



參見：群論
結合上面的概念可給出在數學中最重要的結構之一：群。群為一個集合S和一二元運算*之結合，使其可有如下性質：

此運算是封閉的：若a和b為S之元素，則a*b也會是。



實際上，提及此性質是很多餘的，因為每一個二元運算都已經說過其運算為封閉了。但封閉性很長被重調其為群的一種性質。

存在單位元素e，使得對每個於S內的元素a，e*a和a*e都會等同於a。
每一元素都存在一逆元素：對每一於S內的元素a，存在一元素a-1，使得a * a-1和a-1 * a都會等同於單位元素。
此運算是可結合的：若a、b和c為S的元素，則(a * b) * c會等同於a * (b * c)。
若一群亦為可交換的－即對任兩個於S內的元素a和b，a*b會等同於b*a－則此群稱為阿貝爾群。
例如，加法的運算下之整數集合為一個群。在此一群中，其單位元素是0且其任一元素a的逆元素為其負數-a。其有關結合律的要求亦是吻合的，因為對任何整數a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
非零有理數會形成一個於乘法下的群。在此，其單位元為1，當對於任一有理數a，1 × a = a × 1 = a。a的逆元素為1/a，當a × 1/a = 1。
但無論如何，於乘法運算下的整數不會形成一個群。這是因此一整數的乘法逆元通常不會是一個整數。例如，4是一個整數，但其乘法逆元為1/4，不為一個整數。
群的理論被學習於群論中。此一理論的一主要成果為有限簡單群分類，主要發表於1955年至1983年之間，其目的在於將所有的有限簡單群分類至約30種的基本類型中。

歷史
代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代[1]，當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統，使其能以代數的方法來做計算。經由此系統的被使用，他們能夠列出含有未知數的方程並求解，這些問題在今日一般是使用線性方程、二次方程和不定線性方程等方法來解答的。相對地，這一時期大多數的埃及人及西元前1世紀大多數的印度、希臘和中國等數學家則一般是以幾何方法來解答此類問題的，如在蘭德數學紙草書、繩法經、幾何原本及九章算術等書中所描述的一般。希臘在幾何上的工作，以幾何原本為其經典，提供了一個將解特定問題解答的公式廣義化成描述及解答方程之更一般的系統之架構。
代數(algebra)導源於阿拉伯語單字「al-jabr」，其出自al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala這本書的書名上，意指移項和合並同類項之計算的摘要，其為波斯回教數學家花拉子米於820年所著。Al-Jabr此詞的意思為「重聚」。傳統上，希臘數學家丟番圖被認為是「代數之父」，但現在則有著花拉子米是否應該從丟番圖中取得此稱號的爭議。[2]支持花拉子米的人指出其對於約化的成果到今日都還有用途，且他更給出了一個解答二次方程的一詳盡說明。而支持丟番圖的人則主張在Al-Jabr裡出現的代數比在Arithmetica裡出現的更為基本，且Arithmetica是簡字的而Al-Jabr卻完全是文辭的。[3]另一位波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出代數幾何出，且找出了三次方程的一般幾何解法。印度數學家摩訶吠羅和婆什迦羅與中國數學家朱世傑解出了許多三次、四次、五次及更高次多項式方程的解了。
代數更進一步發展的另一個關鍵事件在於三次及四次方程的一般代數解，其發展於16世紀中葉。行列式的概念發展於17世紀的日本數學家關孝和手中，並於十年後由萊布尼茨繼續發展著，其目的是為了以矩陣來解出線性方程組的答案來。加布里爾·克拉默也在18世紀時在矩陣和行列式上做了一樣的工作。抽象代數的發展始於19世紀，一開始專注在今日稱為伽羅瓦定律及規矩數的問題上。

因為不知answer,so have some 代數