為什麼三角形能夠完全被圓形包圍??

因為三角形的三條中垂線交於一點,這點叫三角形的外心,(即外接圓的圓心)
以這點為圓心,這點到任一頂點的距離為半徑作圓,則這圓過三角形的三個頂點.
這就是三角形的外接圓.
理由是中垂線上任一點到這線段兩端等距.
證明:
如三角形ABC的外心為O
以O為圓心,OA為半徑R作圓O
因O在AB的中垂線上
所以OA=OB(中垂線上任一點到這線段兩端等距)
又因O在AC的中垂線上
所以OA=OC(中垂線上任一點到這線段兩端等距)
即OA=OB=OC=R
則A,B,C在圓上

(註:由以上的證明可知,不論三角形是鈍角,直角還是銳角三角形,都會有唯一一個外接圓與之對應)

2007-03-21 08:38:03 補充：
Andrew利用到線數來解決初中的平幾問題未免太煩了吧.另外以一個中學生(未學解幾及線數)所發問的問題根本不會明白你做什麼.而我所證的不是假定外心存在,只要通過作圖便可.證明如下:在三角形ABC中,分別作AB和AC的中垂線,兩線交於點O(因AB和AC不平行且不重合,即其中垂線也不平行且不重合,所以必有交點)以O為圓心,OA為半徑R作圓O因O在AB的中垂線上所以OA=OB(中垂線上任一點到這線段兩端等距)又因O在AC的中垂線上所以OA=OC(中垂線上任一點到這線段兩端等距)即OA=OB=OC=R則A,B,C在圓上

這個問題其中一個解釋方法是用坐標幾何加線性代數。

假設圓的方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，不同的h, k, 跟r可以寫出所有有可能的圓。
展開，我們可以寫成

x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + h^2 + k^2 - r^2 = 0

又可以寫成
x^2 + y^2 = Ax + By + C，（A = 2h, B = 2k, C = r^2 - h^2 - k^2）

現在我們有三點，(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ,它們沒有兩點相同，也不在一條線上。
如果把這些點都放進方程裏，我們可以寫

Ax1 + By1 + C = x1^2 + y1^2
Ax2 + By2 + C = x2^2 + y2^2
Ax3 + By3 + C = x3^2 + y3^2

變了矩陣寫法，我們有

(x1 , y1 , 1 ) (A) = (x1^2 + y1^2)
(x2 , y2 , 1 ) (B) = (x2^2 + y2^2)
(x3 , y3 , 1 ) (C) = (x3^2 + y3^2)

因為(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)不是在同一條線上，否則就不是三角形了，這個線性方程組一定有唯一解。也就是說，一定有唯一一個圓可以穿過這三點。

證明這個圓形不是虛圓也可以，這個方法就是把隨意一點抽出來，放在元點(x1, y1) = (0, 0)上，那麼我們就可以使C = 0，這個圓就肯定不是虛圓了。

2007-03-20 23:27:10 補充：
yeung655360736 的例子很好。chaoseng2000 的證明首先就假設了外心的存在，邏輯上說不通。

2007-04-09 13:16:02 補充：
雖然我花了不少時間去做，但的確你的答案比較簡單。