為何三角形內角和一定等於180度？

三角形的內角和可以大於180度，也可以小於180度。
我們就稱作非歐幾何。

我們所學到的，其實是歐氏幾何，
在歐氏幾何中，三角形的內角和是等於180度的。

但事實上，我們也能發展出另一套幾何(橢圓曲面、雙曲曲面)，
使得三角形的內角和不是180度，而且它們確實是正確的。

在邏輯上，歐氏幾何，並不會比非歐幾何來的真(正確)，
這三者都是正確的，並且三者之間的地位是相同的。

然而，不只是在邏輯上如此。
就連現今的宇宙，科學家發現，
宇宙是比較像非歐幾何裡面所說的，三角形的內角和不是180度。


１．三角形的內角合＝１８０
２．歐式幾何最初的五個公設中，最耐人尋味的莫過於有名的「平行公設」了，它說到「同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於兩直角，則若這兩直線經不斷延伸後在這一側相交」。這個公設與其他四個公設和五個公理似乎格格不入，因為那九個命題似乎都是「顯而易見」的。兩千多年來，許多人嘗試要用另外九個公設 / 公理「證明」平行公設，但任何的證明最後都被發現需要假定一個與平行公設等價的假設。

接下來，就是大家所熟知的故事。德國的高斯 (Gauss, 1777-1855)、匈牙利的波里耶 (Bolyai, 1802-1860) 與俄國的羅巴秋夫斯基 (Lobachevsky, 1793-1856) 三人別獨立地假設平行公設是錯誤的，而發現第一種非歐幾何。在這種幾何中，過直線外一點與此直線不相交的直線將不只一條。我們稱這種幾何為羅巴秋夫斯基幾何 (Lobachevskian geometry) 或雙曲幾何。

從那個時代開始，幾何就從歐幾里得的世界中被「解放出來」，許多不同的幾何被建立，其中最有名的就是黎曼幾何 (Riemannian geometry)。雖然如此，歐式幾何仍然在中學生學習基礎數學中，佔有了重要地位，而且它似乎也較符合人類感官的直覺。歐式幾何中較為基本的部分，也就是不涉及平行公設的部分，與雙曲幾何是完全相容的，這些部分被稱為『中立幾何』(neutral geometry) 或『絕對幾何』(absolute geometry)。


根據歐幾里得的<幾何原理>第五個假定條件描述:如果一條直線與另外兩條直線相交,使得同一邊的內角小於兩個直角(180度),那麼把這兩條線無限制延長,將會在內角和小於兩直角那側的某處相交.這才是描述三角形的內角總和會等於兩個直角相加,也就是180度的根本來源,而四邊形的內角和是根據三角形的內角和所推論出來的.不過這只有在歐式平面裡才成立的.

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ｌ
　　　　　Ｄ∕＼Ｅ
　　　　　 ∕ Ａ　＼
　　　 　 ∕　　　　 ＼
　 　 　 ∕ B　　　　 Ｃ ＼
　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿　　
在△ＡＢＣ上，畫一條直線Ｌ通過點Ａ，並且於ＢＣ平行。
∵ ∠Ｂ＝∠Ｄ　　（內錯角相等）
　 ∠Ｃ＝∠Ｅ　　（內錯角相等）
∴ ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠Ｄ＋∠Ａ＋∠Ｅ＝180°
證畢

１．三角形的內角合＝１８０
２．歐式幾何最初的五個公設中，最耐人尋味的莫過於有名的「平行公設」了，它說到「同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於兩直角，則若這兩直線經不斷延伸後在這一側相交」。這個公設與其他四個公設和五個公理似乎格格不入，因為那九個命題似乎都是「顯而易見」的。兩千多年來，許多人嘗試要用另外九個公設 / 公理「證明」平行公設，但任何的證明最後都被發現需要假定一個與平行公設等價的假設。

請參考以下網址：

http://cal.hkcampus.net/~cal-ltw/anglesum.htm

1. 我們知道一條直線一側係平角，即係180度
2. 附圖中，藍色線和BC平行
3. 因此，所示的紅角和粉紅角各自相等
4. 紅角+粉紅角+藍角=180度
5. 由此可見，三角形的內角和一定等於180度。

同理，四邊形的內角和又一定等於360度…

理由是，任何四邊形加上對角線，便會分成兩個三角形，兩個三角形的內角和=360度

利用此方法，亦可得知五邊形、六邊形等多邊形的內角和。

可能你都會知，多邊形的外角和也可以用類似的方法求得…

有機會可以試試自己親自搵答案…

KING

你簡單 d 來睇啦，因為 3 條線點整都好，距離都係一樣既，角度當然都一樣啦，無論果3條線點整都好，都條一樣既

maths上的問題

總之三角形內角和一定等於180度