中四Trigonometry問題(10點！)

Prove the following identities.

3 - 4 sin^2 θ = 4 cos^2 θ -1
左面方程式
= 3 - 4 sin²θ
= 3 - 4 (1-cos²θ)
= 3 - 4 + 4cos²θ
= 4cos²θ - 1
= 右面方程式

cos^3 θ sinθ +cos θ sin^3 θ = cos θ sin θ
左面方程式
= cos³θ sinθ +cos θ sin³θ
= cosθ sinθ ( cos²θ + sin²θ)
= cosθ sinθ
= 右面方程式

sin^3 θ - cos^3 θ = (sin θ -cos θ)(1 + sin θ cos θ)
右面方程式
= (sin θ -cos θ)(1 + sin θ cos θ)
= sinθ + sin²θcosθ - cosθ - sinθ cos²θ
= sinθ - sinθ cos²θ - cosθ + sin²θcosθ
= sinθ(1-cos²θ) - cosθ(1-sin²θ)
= sin³θ - cos³θ
= 左面方程式

cos θ ( 1 + tan θ ) = sin θ ( 1 + 1 / tan θ )
左面方程式
= cos θ ( 1 + tan θ )
= cos θ [ 1 + (sin θ/cosθ )]
= cos θ [ (cos θ + sin θ )/cosθ )]
= cos θ + sin θ

右面方程式
= sin θ ( 1 + 1 / tan θ )
= sin θ [ 1 + 1/(sin θ/cosθ ) ]
= sin θ [ 1 + (cosθ / sin θ) ]
= sin θ [ (sinθ + cosθ)/ sinθ ]
= cos θ + sin θ

所以左面方程式 = 右面方程式


tan θ / 1 + tan^2 θ = sin θ cos θ
左面方程式
= tanθ / 1 + tan²θ
= ( sinθ/cosθ ) / [1+ (sin²θ/cos²θ)
= ( sinθ/cosθ ) / [ (cos²θ + sin²θ )/cos²θ ]
= ( sinθ/cosθ ) / (1/cos²θ)
= sin θ cos θ
= 右面方程式

1 - cos A / 1+ cos A = ( 1/ sin A - 1/ tan A)^2
右面方程式
= ( 1/ sin A - 1/ tan A)²
= [ 1/ sin A - 1/ (sin A/cos A)]²
= [ 1/ sin A - cos A/sin A]²
= [(1-cosA) / sinA ]²
= (1-cosA)² / sin²A
= (1-cosA)² / 1-cos²A
= (1 + cosA )/ (1-cosA)
= 左面方程式

2007-03-15 09:38:45 補充：
最後題目, 左面方程式 = {4 sin ( 90°- θ )[ - cos ( 90°- θ )] + 2} / [sin θ + cos (180°- θ )]= [ 4cosθ (-sinθ) + 2 ] / (sinθ - cosθ)= [ -4sinθcosθ+ 2 (cos²θ+sin²θ) ] / (sinθ - cosθ)= 2 (sin²θ - 2sinθcosθ+ cos²θ ) / (sinθ - cosθ)= 2 (sinθ - cosθ)² / (sinθ - cosθ)= 2 (sinθ - cosθ)= 右面方程式