什麼是圓周率..........

摘要

本專題研究將會就圓周率 p 的歷史作一概括的討論與記述：把圓周率 p 的研究歷史分為四個時期，依著時間的脈絡，鋪陳當中重要的歷史進程，揭開圓周率 p 的神秘面紗，及帶出人們對數學堅毅和智慧的追尋。

I. 引言

當你問「圓周率 p」是甚麼呢？我想小學生也能答你：「圓周等於直徑乘以 p」、「p 約等於七分之廿二或 3.14 」。看似好簡單的一個常數「p」，但它卻成為好多數學家研究的對象之一，甚至乎是他們窮一生之力所探求、所追尋的目標。它到底有甚麼懾人之處？

「圓周率」就是指圓周長和直徑的比率，而希臘字母「p」則是用以表達它的符號。研究圓周率 p 的歷史有四千年之久，此專題研究旨在概述有關的發展進程，希望大家在簡遊圓周率 p 的歷史後，能欣賞和讚嘆古人的數學智慧和毅力，及發現到圓周率 p 的奇妙之處。

本專題研究將會依時間的先後次序來討論圓周率 p 的歷史發展，並會以「起」、「承」、「轉」、「接」來分述圓周率 p 歷史的四個階段。



注意：

- 由於研究圓周率 p 的數學家眾多，筆者只會選取當中對圓周率 p 的發展有特別影響或貢獻的來討論

- 在以下的討論中，將會以 d 來表示圚的直徑，以 A 來表示圓面積

- 以下的資料來源主要是參考 (詳情請參閱「參考資料」部份) ：

- Jorg Arndt, Christoph Haenel (1998, 2000). p-Unleashed

- 大衛 布拉特納著，潘恩典譯 (1999)。神奇的 p

- 黃晶榕「 p 的故事」(2000)。數學的故事

- 袁小明編著 (2000)。數學誕生的故事



II. 研究圓周率 p 歷史的四個階段

1. 「起」

「起」是圓周率的起源，究竟誰先發現它？

何時、何人、何地？

早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。讓我們看看古巴比倫人和埃及人的發現：

古巴比倫

巴比倫人從計算周界發現 ：一塊出土於 1936 年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期 (約公元前 1900-1600 年) ，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36 (以底數 60 計，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圓的周界：

六邊形周界 = 24/25 ´ 其外接圓周界 = 24/25 ´ p ´ 直徑

由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值：

p 〔巴比倫〕= 25/8 = 3.125

埃及

埃及人則從面積計算得 (約公元前 2000 年) ：在賴因德古本 (Rhind Papyrus)，記載了一條有關圓周率的問題：「一塊圓形土地的的直徑長 9，它的面積為何……取圓直徑的九分八，做為正方形的邊形，就可得到和圓等面積的正方形」。亦即：

A = (8d/9)2

由此，得出圓周率的近似值：

p 〔埃及〕 = (16/9)2 = 3.16049...

再多一點點記載

中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。

聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。

在這段期間，人們都是為生活而作計算，鮮有為圓周率而找圓周率。他們的發現多源自經驗 (實際量度) 所得，對圓周率的興趣只在於它在建築及工程上的應用，最多也只是想找出圓周率的值是多少。

直至公元前約四世紀，人類才轉往追問如何找出圓周率的值，開始為圓周率而找圓周率：

一個對找出圓周率之值的重要發現：「窮舉法」

古希臘

安提豐（Antiphon，約公元前 430 年）和布賴森（Bryson，公元前 408 - 355 年）想出一個方法計算平面圖形面積的方法－「窮舉法」（Method of Exhaustion）。他們也嘗試以「窮舉法」來計算圓的面積：

「畫一個正六邊形，將它的邊增加兩倍，再不繼倍增，這個正多邊形最後就會"變成"圓形。」

此外，布賴森更開創了一個新想法以計算圓的面積：計算圓的外切多邊形和內接多邊形的面積，圓的面積就介乎他們之間。這可能是人類首次以上下限迫近一個值。

可惜的是，礙於不懂得計算多位數，他們未能將「窮舉法」應用到找出圚周率的值。不過，他們用「窮舉法」把多邊形迫近圓的想法，則啟發了其他的數學家，令他們找到一個計算圓周率的值的方向。
總結：「以有涯追無涯」

人們追尋圓周率 p 的歷史至今已有四千年，由發現圓周和直徑的比為一常數，進而以多邊形迫近圓的方法求 p 值，轉而發現更多計算及表示 p 的公式、級數……再隨著電腦的發明與科技的發展，圓周率值的位數得以突飛猛進。

其實，十個小數位的 p 值已足已應付日常及工程所需的計算。現在， p 值多位計算的實際用途只是作測量新型電腦的優良程度，但為何人們仍對 p 值鍥而不捨的追尋？相信是因為數學家們對有無限小數位的 p 都抱有好奇心，希望解開幾千年來仍未有人解到的圓周率之謎：「究竟人們可計算到幾多個小數位的 p 值？」、「常數 p 的數字究竟有沒有甚麼規律可尋？」．．．為了創出新的紀錄和挑戰自己及人類的極限，人們仍願意付上時間和精神，去繼續追尋「無限、奇妙的 p」，感受並欣賞數學的美。

pie!!

圓周率 = 圓形的周長/圓形的直徑
符號π是第十六個希臘字母，到1706年才開始以它代表圓周率的。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。

公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。


π＝3.141592653589793238 46264338327950288419 71693993751058209749 44592307816406286208 99862803482534211706 79821480865132823066 47
09384460955058223172 53594081284811174502 48111745028410270193 85211055596446229489 54930381964428810975 66593344612847564823

在20000以上(目前)
圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比 （ratio of the circumference of a circle to the diameter） 。用符號π表示。中國古代有圓率、圜率、周等名稱。

　　古希臘歐幾里得《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，中國古算書《周髀算經》（ 約公元前2世紀）中有「徑一而周三」的記載，也認為圓周率是常數。歷史上曾採用過圓周率的多種近似值 ，早期大都是通過實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取π=（）4≒3.1604 。第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德 ，他在《圓的度量》（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形 開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到3<π<3 ，開創了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或 阿基米德方法），得出精確到小數點後兩位的π值。

　　中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時（263年）只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確 到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術。南北朝時代的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後 7位的π值（約5世紀下半葉），給出不足近似值 3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似 分數值，密率355/113和約率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發表於荷蘭工 程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數 值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力， 於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。

　　1579年法國數學家韋達給出π的第一個解析表達式 (^=開方)

兀/2=1/^2/1*1/2+1/2^*^1/2^*^1/2+1/2^+1/2^1/2....


此後，無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π 值表達式紛紛出現，π值計算精度也迅速增加。1706 年英國數學家梅欽計算π值突破100位小數大關。1873 年另一位英國數學家尚可斯將π值計算到小數點後707位，可惜他的結果從528位起是錯的。到1948年英國的弗 格森和美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。

　　電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室首 次用計算機（ENIAC）計算π值，一下子就算到2037位小數，突破了千位數。1989年美國哥倫比亞大學研 究人員用克雷－2型和IBM－VF型巨型電子計算機計算出 π值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1 億位數，創下新的紀錄。

　　除π的數值計算外，它的性質探討也吸引了眾多數學家。1761年瑞士數學家蘭伯特第一個証明π是無理數 。1794年法國數學家勒讓德又証明了π2也是無理數。到1882年德國數學家林德曼首次証明了π是 超越數，由此否定了困惑人們兩千多年的「化圓為方」尺規作圖問題。還有人對π的特徵及與其它數字的聯系 進行研究。如1929年蘇聯數學家格爾豐德証明了eπ 是超越數等等。



圓周率的發展
古代
中國周髀算經
西方聖經 周一徑三
圓周率 = 3

元前三世紀 阿基米德
(希臘) 1. 圓面積等於分別以半圓周和徑為邊長的矩形的面積

2. 圓面積與以直徑為長的正方形面積之比為 11:14

3. 圓的周長與直徑之比小於 3 1/7 ,大於3 10/71

三世紀 劉徽
(中國)
用割圓術得圓周率＝3.1416稱為 "徽率"
五世紀 祖沖之
(中國)
1. 3.1415926 < 圓周率 < 3.1415927

2. 約率 ＝ 22/7

3. 密率 ＝ 355/113

1596年 魯道爾夫
(荷蘭)
正確計萛得 p 的 35 位數字
1579年 韋達
(法國)
"韋達公式" 以級數無限項乘積表示 p
1600年 威廉.奧托蘭特
(英國)
用p/σ表示圓周率

π是希臘文圓周的第一個字母

σ是希臘文直徑的第一個字母

1655年 渥里斯
(英國) 開創利用無窮級數求 p 的先例
1706年 馬淇
(英國)
"馬淇公式" 計算出 p 的 100 位數字
1706年 瓊斯
(英國) 首先用 p 表示圓周率
1789年 喬治.威加
(英國) 準確計算p 至126 位
1841年 魯德福特
(英國)
準確計算 p 至 152 位
1847年 克勞森
(英國)
準確計算 p 至 248 位
1873年 威廉.謝克斯
(英國) 準確計算 p 至 527 位
1948年 費格森和雷恩奇
(英國, 美國) 準確計算 p 至 808 位
1949年 賴脫威遜
(美國)
用計算機將 p 計算到 2034 位
現代 用電子計算機可將 p 計算到億位

一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可以嚴格地定義為滿足sin(x) = 0的最小正實數x，這裡的sin是正弦函數（採用分析學的定義）。常用的 π 10進位近以值為3.1415926，另外還有由祖沖之給出的疏率：22/7及密率：355/113

<π 的計算及歷史>
由於π的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用3.14或22/7已足夠，但工程學常利用3.1416(5個有效數字)或3.14159(6個有效數字)。至於密率355/113則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。

<實驗時期>
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值，為256/81(=3+1/9+1/27+1/81)或3.160。

至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
<幾何法時期——反覆割圓>
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎(3+1/7)與(3+10/71)之間。

公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。

公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。

<分析法時期——無窮級數>
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。

所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：

π/4=4xarctan(1/5)-arctanfrac(1/239)

其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。