1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+.......+100

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50.......+100


By

T(n) = a + (n - 1)d

100 = 1 + (n - 1)(1)

n = 100

So,by

S(n) = n/2 [ 2a + (n - 1)d ]

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50.......+100

= 100/2 [ 2(1) + (100 - 1)(1)]

= 50 x 101

= 5050

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50.......+100 = 5050

(100+1)*50
=101*50
=5050
~~~~~~~~~

(頭+尾)x項數/2
(1+100)x100/2
5050

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50.......+100 =???

(1+100)x100/2
=101x50
=5050

公式 :
( 首項 + 尾項 ) X 項數 / 2

=5050

這一類問題已經見過很多了，這裏就想答一次比較好和完整的。

首先我們用最簡單的方法去做一次這一條，這個方法是當年數學家高斯小時候用來回答老師的。

1 + 2 + 3 + .. + 100 可以寫成：

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51)

由於每一個括號裏面的數值都是101，而這裏有50個括號。所以結果就是101 x 50 = 5050。

好了，這一類問題其實都可以用相類此的方法解決的。這一類很多數加起來的問題叫數列。而數列當中，如果每個數字和前一個數字相減都是一樣的，叫等差數列。等差數列是數列問題當中最容易的。

通常這類問題有幾個變化，其中一個變化就是數列上有單數個數字，如果問題提供的只有單數個數字，例：

1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 (留意，沒有100)

最簡單的方法就是用減數(或加數了), 由於 1 + 2 + ... + 98 + 99 + 100 = 5050, 所以加到99當然就是5050 - 100 = 4950了。

另外一個變化就是跳數字了，例：

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 97 + 99

其實我們可以一模一樣的使用高斯方法的。

(1 + 99) + (3 + 97) + ... ? <- 糟了，最尾應該是甚麼呢？

首先，我們該想想，這數列裏夠竟有多少個數在裏面，每一個數值都可以寫成2k - 1

k = 1, 2k - 1 = 1
k = 2, 2k - 1 = 3
k = 3, 2k - 1 = 5
...
k = ?, 2k - 1 = 99

最後的k可以方程式找出，k = 50.　所以這個數列
1 + 3 + ... + 99 裏共有50個數，所以最後一對是第25個數(2(25) - 1)=49和第26個數(2(26)-1)=51。得出

(1 + 99) + (3 + 97) + ... + (49 + 51) = 100 x 25 = 2500。
[註：如果你能觀察到這裏有25個括號,那最後一個其實不寫也知道結果是100 x 25的]

如果上述你都能看懂的話，下一步可以做的就是總結我們的經驗了，只要當數列能寫成

a + (a + k) + (a + 2k) + ... + (a + nk), 設n 為單數。

我們都可以使用高斯方法寫出

[a + (a + nk)] + {(a + k) + [a + (n-1)k]} + ... {(a + (n-1)k/2) + [a + (n+1)k/2]}
[註：同樣地,如果你能觀察到這裏有(n + 1)/2個括號,那最後一個其實不寫也知道結果是100 x 25的]

最後答案就是[a + (a + nk)] * (n+1)/2

當n是雙數時,用高斯方法必須把最後一個拿掉。

數列：
= a + (a + k) + (a + 2k) + ... + [a + (n-1)k] + (a + nk)
= {a + [a + (n-1)k]} * n/2 + (a + nk)

〔以下是上式的簡化，這一部份小學生可以不看）
= {a + [a + (n-1)k]} * n/2 + (2a + 2nk)/2
= {{a + [a + (n-1)k]} * n + (2a + 2nk)}/2
= {[a + (a + nk - k)] * n + (2a + 2nk)}/2
= [(2a + nk - k) * n + (2a + 2nk)]/2
= [(2an + n^2k - kn) + (2a + 2nk)]/2
= [2a(n+1) + n^2k + kn]/2
= [2a(n+1) + n^2k + kn]/2
= [2a(n+1) + n(n+1)k]/2
= [2a(n+1) + n(n+1)k]/2
= [(2a + nk)(n+1)]/2
= [a + (a + nk)] * (n+1)/2

經過一輪運算，最後得出的結論就是無論單雙數，結果都是[a + (a + nk)] * (n+1)/2。也就是「(頭＋尾) * 項數 / 2」
留意頭是a,尾是a + nk, 項數是n + 1。這公式基本上是所有等差數列的標準答案。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50.......+100 = 5050

1+99 = 100 2+98 = 100 3+97 = 100 ...
= 5050

用梯形公式
因為這是每個數字之間都等差為1的數列

頭數加尾數乘以個數除以二
(1+100)*100/2=5050

５０５０吧

(1+100)*50/2=5050

2007-03-11 17:06:15 補充：
(頭+尾)*中間/2頭=1,尾=100,中間=50

2007-03-11 17:08:14 補充：
寫錯,如果係中間已經/2

你應自己慢慢用計算機計...

太複雜了