INFINITY 「無限」的定義

real number 有較多的數目
NFINITY means there'll never be end .It can continuous forever
A real number may be either rational or irrational; either algebraic or transcendental; and either positive, negative, or zero.

Real numbers measure continuous quantities. They may in theory be expressed by decimal representations that have an infinite sequence of digits to the right of the decimal point;,such as 324.823211247........and so on .the decimal place can never end.

SO,ALMOST ALL numbers that exist are real numbers,except no. as:
root (-3), log(-3), ln(-3) ...

所謂無限大
是一個比任何數也大的數
但實際上
這不是數
這只是一個符號
每一個自然數也有一個後繼數
例如1的後繼數是2
n的後繼數是n+1等(n是自然數)
無限大只能夠趨於
而不能等於
例如有一個function,f(x)=1/x
lim f(x)=0 代表當x這個variable愈來愈接近無限大,即是愈來愈增大
x→∞
f(x)就會愈來愈接近0
所謂趨於,只是愈來愈接近,而不是等於
看來很抽象對吧?
f(x)=1/x
當x→∞
x=1,10,100,1000......10^(10^100)......
是愈來愈大
而不趨於某個實在的數
便是趨於無限大
又例如
lim 1/x
x→0
這次x就愈來愈接近0
注意:是接近,而不是等於
x=1,f(x)=1
x=0.1,f(x)=10
x=0.001,f(x)=1000
等等
換言之,x愈來愈接近0時
f(x)不斷增大而不趨近於某個特定的數
便即是趨於無限大
可寫成
lim 1/x=∞
x→0
儘管寫成=∞
並不表示其的確等於無限大
只是趨近於
無限大有分正無限大與負無限大
分別表示愈來愈大(1,10,100,1000......)及愈來愈"小"(-1,-10,-100,-1000......)
有時無限也可用作表示全部實數
例如:x大於3
可以用區間(3,∞)表示
x小過等於3
可用(-∞,3]表示
還有一個無限小的觀念
其實即是趨於0
可用於微積分
例如一個圓形是用闊度為x的直線組成
當x愈來愈小
所組成的圓形便愈接近圓形的面積

我試試說一下我所知的吧！

你的第一個問題是問何謂無限∞。

在數值上，無限是指一個超越任意給定的數值的值。
一堆沒有上界的數列便經歷了無限。

你的第二個問題是關於集合的大小。

positive integer (N), integer (Z), rational number (Q)這三個無限集是大小相等的。而 real number (R)集卻比 N、Z、Q 三者為大。

2007-03-10 01:01:44 補充：
注意，這個超越任意給定的數值的值在實數上是沒有的，因為對於任何實數 x 存在一個最小的正整數 n 使得 n > x (這個好像叫 Archimedean property)。所以只要某個數值是實數，它一定不可能是一個超越任意給定的數值的值。雖然一個數值不可能是無限，但一個數列 (即是一堆數值) 卻可經歷得到無限。最簡單的例子是正整數 {1, 2, 3, ...}，說它能經歷得到無限，意思是它沒有上界（證明：假設有上界，設它作 x，然而根據Archimedean property，又有一個正整數 n > x。所以 x 不是上界。）

infinity 即係無限
如果要definition的話就是一堆unbounded value

咁就要睇你點去解條題目
如果你係係有限的數目入面搵
當然real no 最多 因為real no 包埋positive integer,integer,rational no.

如果係無限講的話可話real no最多亦可話四者無分別
前者係因為 以compare而有的
當你係number line上到比
每一個postive integer or integer入面都可以搵到好多個rational 同埋更多的real no
咁照推論即使係infinity real no 都有好多

後者解法係因為既然無限 亦可以搵到無限個real no 同時亦可搵到無限的positive integer 因為佢根本無bounded到 所以你無辦法用實質數字比較

我個人就覺得後者合理d