3,10,13,23,26......

你的問題應該是
3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055,1707,2762,4469,7231,11700...
你將他們除3後會發現每8個數會重覆佢的餘數，以上的餘數是：
0,1,1,2,0,2,2,1, 0,1,1,2,0,2,2,1 ,0...
你會找到了佢的規律，每8次就重覆。
逢8的倍數都是餘1，第8、16、24、32、40...都是餘1
所以第1000個數字除3的餘數是1 (因為1000是8的倍數)

第1000個數字÷3的餘數是1

1
數字是這樣組成的︰每1個數字是前2個數字的和。我們嘗試列寫數字︰3、10、13、23、36、59、95、154、249、403、652、1055、1707、2762、4469、7231、…，觀察它們除以3之後的餘數，分別是︰[0、1、1、2、0、2、2、1]、[0、1、1、2、0、2、2、1]…，可見餘數以8個為一個循環，所以第1000個數字是1000÷8＝125，剛好是第8個餘數，即是1。

By observation,

A1=3 (by definition)
A2=10 (by definition)
A3=3+10=13
A4=10+13=26
...
An=A(n-1)+A(n-2)

所以,
A1=3
A2=10
A3=3+10
A4=3+10+10
A5=3+3+10+10+10
A6=3+3+3+10+10+10+10+10

換個寫法
A1=3*1+10*0
A2=3*0+10*1
A3=3*1+10*1
A4=3*1+10*2
A5=3*2+10*3
A6=3*3+10*5
A7=3*5+10*8
...
An=3*Cn+10*Dn

由此可見，An÷3的餘數其實即是(10*Dn)÷3的餘數，也即是Dn÷3的餘數(因為3*Cn÷3的餘數必然是0)

D1=0 (by definition)
D2=1 (by definition)
D3=1
D4=2
D5=3
D6=5
D7=8
D8=13
D9=21
D10=34
D11=55
D12=89
D13=144
D14=233
D15=377
D16=610
D17=
...

這是著名的費氏數列, 將數列除以3, 取其餘數

D1 mod 3=0
D2 mod 3=1 (*)
D3 mod 3=1 (*)
D4 mod 3=2 (*)
D5 mod 3=0
D6 mod 3=2
D7 mod 3=2
D8 mod 3=1
D9 mod 3=0
D10 mod 3=1
D11 mod 3=1
D12 mod 3=2
D13 mod 3=0
D14 mod 3=2
D15 mod 3=2
D16 mod 3=1
D17 mod 3=0
...

By observation, Dn mod 3 follows the sequence 0,1,1,2,0,2,2,1
所以.. D1000 mod 3=1

因f(1)=3
f(2)=10
f(3)=13=f(2)+f(1)
f(4)=23=f(3)+f(2)
......
f(1)=0(mod3)
f(2)=1(mod3)
f(3)=f(2)+f(1)=0+1(mod3)=1(mod3)
f(4)=f(3)+f(2)=1+1(mod3)=2(mod3)
f(5)=f(4)+f(3)=2+1(mod3)=0(mod3)
.........
其中mod3是指除以3後的餘數
注意到除以3後的餘數是以下的數列:
0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,.........
每8個數循環1次,
即項數除以8餘1=0
項數除以8餘2=1
項數除以8餘3=1
項數除以8餘4=2
項數除以8餘5=0
項數除以8餘6=2
項數除以8餘7=2
項數除以8餘0=1
而1000除以8餘0
所以第1000個數字÷3的餘數是1