我想問有否正弦定律與餘弦定律的錯誤例子??

是有一個可能性:
當 a 和 b 兩邊和 角 B (非 a 和 b 的夾角) 皆已固定時, 所得出的三角形會有兩個可能性如下圖示:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Crazytriangle1.jpg

【此圖乃本人自製圖片，未經本人同意勿擅自連結或使用】
在上圖中, 若以圓規在 C 點以 b 長度劃出一道弧, 則此弧會與底線 (即 AB 或 A'B) 相交於兩點, 於是便會出現兩個可能的三角形了.
而驗證時: ∠CAA' = ∠CA'A (等邊三角形的底角)
即 ∠CA'B = 180° - ∠CAA'
所以, 無論在 A 抑或 A' 點, 此角的正弦數值 (sin) 都是一樣的, 且並無違反正弦定律, 即:
a / sin A = a / sin A' = b / sin B
其實此情況之發生和全等三角形 (congurent triangles) 的理由是有關的. 試看上圖, 若順序看, 所成的理由便是 "ASS". 然而, 眾多的全等三角形理由中是無 "ASS" 的. 所以此情況下便會有機會出現多於一個可能性.
同時, 由上圖亦可見, 當較短的已知邊 (即 b) 的對角 (即 B) 是已知的角時, 便會有機會出現多於一個可能性. 相反, 若已知角是較長的已知邊 (即 a) 的對角時則不會有此情況出現.
另外, 亦是上圖所見, 有一個可能是會令得到的三角形是唯一 (unique) 的:
b = a sin B
在此條件成立時, 弧剛好相交底邊於一點, 即切線. 而當 b < a sin B 時, 則會沒有可能劃出一個完整的三角形, 因為不夠長.
順道也看看其他的情況:
(1) 在已知兩角和一邊的情況下 (用正弦):
三個角全知, 即形狀固定, 且一邊的固定長度亦已定了其大小, 所以不會多於一個可能性.
(2) 三條邊全知 (用餘弦):
大小和每邊長已固定, 所以亦只有一個可能性. (正如全等三角形的 SSS 理由)
(3) 兩邊一夾角已知 (用餘弦):
正如全等三角形的 SAS 理由, 亦只有一個可能性.

正弦定律與餘弦定律皆在數學上被證明過
假如閣下沒有算錯數
在歐氏幾何中它們也是正確的
正弦定理證明:

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/Law_of_sines_proof.png

做一個邊長為a，b，c的三角形，對應角分別是A，B，C。從角C向c邊做垂線，得到一個長度為h的垂線和兩個正三角形。
很明顯:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/e/a/6eade7141defbf604cc577d826e9eaf2.png

因此:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/2/2/f220183e353a421921e62ea18d435e76.png

和


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/b/9/db987ecca2c45c53ae7e11c836f803af.png

同理:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/3/4/e3401d6ccc5048048e8fece659eb1f86.png


餘弦定理:

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/f/fb/Law_of_cosines_proof.png

設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/3/5/635759e23aaf6e02541e3b72d65268d0.png
中，AB = c，BC = a，AC = b。過B點作AC的垂線，垂足為D，如果D在AC內部，則BD的長度為asinC，DC的長度為acosC，AD的長度為b - acosC。根據勾股定理：

c2 = (asinC)2 + (b - acosC)2
c2 = a2sin2C + b2 - 2abcosC + a2cos2C
c2 = a2(sin2C + cos2C) + b2 - 2abcosC
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
如果D在AC的延長線上，證明是類似的。同理可以得到其他的等式。
還有正切定理供閣下參考:
正切定理是三角學中的一個定理。
在平面三角形中，正切定理說明任意兩條邊的和除了第一條邊減第二條邊的差所得的商等於這兩條邊的對角的和的一半的正切除了第一條邊對角減第二條邊對角的差的一半的正切所得的商。即：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/0/1/b01089c13cc7252a7107409f32190884.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/c/d/dcd029287da9389176e5ec08d6ac1c0f.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/2/6/4266dfa03e701e11bab221347719e814.png

證明:
由
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/5/b/25baf9cb1fab0c2e113ad27fc98048ea.png
開始。由正弦定理得出


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/3/5/f359e4b46dcfd905ca13ac958b4fbcd0.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/1/c/c1cf19d730d901e219e71ad998e39be2.png


(參閱三角恆等式)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/7/b/27babc9daeef39138b2575a6d775ef20.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/f/eff9eaaf0484b96ca9ac15927cb26074.png