什麼是【公倍數】和【最小公倍數】?

公倍數 (Common Multiple)是幾個數公有的倍數，稱為這幾個數的公倍數。

例:

15是3和5的公倍數。

55是5和11的公倍數。

100是5、10和20的公倍數。

最小公倍數是一些數的公同最小倍數;即

例如:12,18

12的倍數:

12,24,36,48,60,72...

18的倍數:

18,36,54,72,90...

哪些倍數是相同的:

36,72...

哪個最小?

是36

∴12,18的最小公倍數是36

在國小課程中，因數與倍數的討論以正整數為範圍。
因數與倍數
依據教育部公佈的國民中小學九年一貫課程綱要數學領域的說明：「一個不為零的整數甲，若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因數，乙稱為甲的倍數。」以 12 為例， 12 ＝ 1 × 12 ，也可以是 12 ＝ 2 × 6 ，也可以是 12 ＝ 3 × 4 ，也就是說 1 、 12 、 2 、 6 、 3 、 4 都

可以整除 12 ，所以 1 、 12 、 2 、 6 、 3 、 4 就是 12 的因數。

如果要知道一個數是否為另一數的因數，我們可以用除法去檢驗，例如： 13 是不是 169 的因數？我們可以用 169 ÷ 13 ，如果可以整除， 13 就是 169 的因數。如果要找出一個數的所有的因數，以 24 為例，我們有 2 種方法可以找出：一種是從小的數依序開始， 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6… ，看看是不是可以整除 24 ，如果可以整除，這些數就是 24 的因數。另外，我們可以用乘法的概念來找， 24 ＝ 1 × 24 ＝ 2 × 12 ＝ 3 × 8 ＝ 4 × 6 ，所以 24 的因數是 1 、 24 、 2 、 12 、 3 、 8 、 4 、 6 ，這種方法較為省時省力，因為任何一數都是兩個數的乘積，所以只要找出 24 一半的因數是 1 、 2 、 3 、 4， 即可找出 24 的另一半因數 2 4、12、8、6 ，也就是說在找出因數 1 、 2 、 3 、 4 的同時，也得到了因數 24 、 12 、 8 、 6 。

另外，在課程中也學習質數和合數的概念：一個大於 1 的正整數只有 1 和本身兩個因數時，稱為質數，如 20 以內的質數有 2、3、5、7、11、13、17、19。 一個大於 1 的正整數不是質數的數便稱為合數， 20 以下的合數便是 4、6、8、9、10、12、14、15、16、18。從上面的定義，我們知道1不是質數也不是合數。

因數與倍數的關係
一個不為零的整數甲，若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因數，乙稱為甲的倍數。以 12 為例， 3 可以整除 12 ， 3 就是 12 的因數，相對的， 12 就是 3 的倍數。一個數同時也是它所有因數的倍數，例如： 6 的因數是 1、2、3、6；6也是1、2、3、6的倍數。 一個數的因數是有限的，但一個數的倍數卻是無限多個。

公因數與最大公因數
一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數的公因數。公因數中最大者即為最大公因數。我們要判斷一個數是不是另外兩數的公因數時，我們也會用除法來檢驗。例如： 4 是否為 12 和 18 的公因數？我門可以將 12 ÷ 4 ， 18 ÷ 4 ，都能被除盡時， 4 才是公因數；但因為 18 不能被 4 整除，所以 4 不是 12 和 18 的公因數。 如果兩數除了 1以外，沒有其他的公因數時，我們就稱為兩數互質。例如3和4互質，11和5互質，29和12互質。

我們要找出兩數的所有公因數，也有兩種方法：一種是把兩個數各由小而大依序列出它所有的因數，再圈出相同的因數就是兩數的公因數，以 12 和 18 為例， 12 的因數有 1、2、3、4、6、12；18 的因數有 1、2、3、6、9、18，其中相同的因數是1、2、3、6，這些就是公因數，而6就是12與18的最大公因數，以(12. 18)=6，或gcd(12, 18)=6表示 。另一方法是只先列出一個數的所有因數，再以這些因數去檢驗是否可以整除另一個數，如果可以，這些數就是這兩數的公因數。例如：要找出 45 和 36 的公因數，我們可以先找出 45 的因數是 1、3、5、9、 1 5、 4 5， 再以 1、3、5、9、15、45 來除 3 6， 看是否可以整除，結果 1 、 3、9 可以整除 36 ，所以 1 、 3、9 就是 45 和 36 的公因數，而 9 就是最大公因數。

要找出最大公因數的方法還可以使用短除法，舉例如下：


所以（ 1 2，18 ）＝ 2×3＝6 所以（45，36）＝3×3＝9

上面的兩個式子是以短除法求最大公因數的解題紀錄，左式要求出 12 和 18 的最大公因數，先以 2 作為 12 和 18 的公共除數（即公因數），得到 6 和 9 ，再重新由 2 開始找尋可以整除 6 和 9 的數，發現 2 不能整除，於是用 3 去除，得到 2 和 3 ，之後除了 1 以外，再也沒有別的數可以整除 2 和 3 ，因此得到最大公因數是 2 × 3 ＝ 6 。

上面左式，求出 45 和 36 的最大公因數，因為 2 不能整除 45 和 36 ，所以用 3 試， 3 可以作為公共除數（即公因數），得到 15 和 12 ，接下來還是要從 3 試，看能否整除 15 和 12 ，發現可以，得到 5 和 4 ，之後除了 1 以外，再也沒有別的數可以整除 2 和 3 ，所以 45 和 36 的最大公因數得到 3 × 3 ＝ 9 。短除法是尋找最大公因數的便捷方法，但是孩子在短除法的計算過程中可能會遺漏公因數，這是要特別留意的地方。

公倍數與最小公倍數
一整數乙同為兩個以上整數的倍數時，則乙稱為這些數的公倍數。公倍數中最小者即為最小公倍數。例如： 72 是 12 的倍數，也是 18 的倍數，所以 72 是 12 和 18 的公倍數。

尋找兩數最小公倍數的方法可以用由小而大依序列出倍數的方法得到，以 12 和 18 為例， 12 的倍數依序有： 1 2、24、36、48、60、72、84…….，而18的倍數有18、36、54、72、90….，最小公倍數就是36，以〔12, 18〕＝36，或lcm(12, 18)=36表示。其他的公倍數都是最小公倍數的倍數。因此， 如果要找出 12 和 18 的 3 個公倍數，我們只要以最小公倍數 36 乘以 2 倍得到 72 ，乘以 3 倍得到 10 8，就得到 12 和 18 的 3 個公倍數 3 6、72、108 。

使用短除法也可以求出最小公倍數，下列左式是求 2 數的最小公倍數的解題紀錄，右式是求 3 數的最小公倍數的解題紀錄，說明如下：


所以〔 4 5，36〕 ＝ 3×3×5×4＝180 所以〔10，12，16〕＝2×2×5×3×4＝240

上式求 45 和 36 的最小公倍數，作法和求最大公因數的方法相同，再將公因數和不是公因數的數都相乘，得到 3×3×5×4＝180，180就是 45 和 36 的最小公倍數。

在上式中，要求出 3 個數的最小公倍數，方法是先要先將 1 0、12、18這 3 個數的公因數求出，發現 2 可以整除 1 0、12、16這3數，得到5、6和8，再從2開始試除，發2現可以整除6和8得到3和4，因為5除不盡，我們將5留下，依序得到5、3、4；最後算出最小公倍數是2×2×5×3×4＝240。

在求 3 個數的最小公倍數的解題過程中，我們要留意的是：要先以 3 個數的公共因數先除，之後再以其中任意 2 個數的公因數去除，這樣才不會有所遺漏；如果在同一題中，要算出最大公因數和最小公倍數，使用短除法計算，要細心才不會弄混或乘錯。

公倍數 是幾個數公有的倍數，稱為這幾個數的公倍數。

最小公倍數是一些數的公同最小倍數