甚麼是「極坐標」?

極坐標 (Polar Coordinates)
平 面 上 一 點 的 位 置，除 了 用 一般 常 見 的 直 角 坐 標 來 標 示 外，尚 有 很 多 不 同 的 方 法，例 如：極 坐 標。

極 坐 標 系
在 平 面 內 取 一 個 定 點 O，從 O 引 一 條 射 Ox，選 定 一 個 單 位 長 度 以 及 計 算 角 度 的 正 方 向 ( 通 常 取 逆 時 針方 向 )，這 樣 就 建 立 了 一 個 極 坐 標 系，O 叫 極 點，射 Ox 叫 極 軸。極 點 、極 軸、長 度 單 位、角 度 單 位 和 它 的 正 方 向 構 成了 極 坐 標 系。 點 的 坐 標 如 圖，OA = 8，A 點 的 極 徑 為 8，極 角 為 45。A 點 的 極 坐 標 為 ( 8，45)。同 理，B 點 的 極 坐 標 為 ( 5，120)。

在數學中, 極坐標系是一個二維坐標系統。該坐標系統中的點由一個夾角和一段相對中心點——極點（相當於我們較為熟知的直角坐標系中的原點）的距離來表示。極坐標系的應用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海(en:Navigation)以及機器人領域。在兩點間的關係用夾角和距離很容易表示時，極坐標系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標系中，這樣的關係就只能使用三角函數來表示。對於很多類型的曲線，極坐標方程是最簡單的表達形式，甚至對於某些曲線來說，只有極坐標方程能夠表示。

極坐標方程
用極坐標系描述的曲線方程稱作極坐標方程，通常表示為r為自變數θ的函數。

極坐標方程經常會表現出不同的對稱en:Symmetry形式，如果r(−θ) = r(θ)，則曲線關於極點(0°/180°)對稱，如果r(π−θ) = r(θ)，則曲線關於極點(90°/270°)對稱，如果r(θ−α) = r(θ)，則曲線相當於從極點逆時針（en:counterclockwise）旋轉(en:Rotational symmetry)α°。[9]


[編輯] 圓

A circle with equation r(θ) = 1.在極坐標系中，圓心在(r0, φ) 半徑為 a 的圓的方程為


該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程


表示一個以極點為中心半徑為a的圓。[10]


[編輯] 直線
經過極點的射線由如下方程表示

,
其中φ為射線的傾斜角度，若 m為直角坐標系的射線的斜率，則有φ = arctan m。 任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。[11] 這些在點(r0, φ)處的直線與射線θ = φ 垂直，其方程為

.

[編輯] 玫瑰線

一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線.極坐標的玫瑰線(polar rose)是數學曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標方程來描述，方程如下：

OR

如果k是整數，當k是奇數時那麼曲線將會是k個花瓣，當k是偶數時曲線將是2k個花瓣。如果k為非整數，將產生圓盤(disc)狀圖形，且花瓣數也為非整數。注意：該方程不可能產生4的倍數加2（如2，6，10……）個花瓣。變數a代表玫瑰線花瓣的長度。


[編輯] 阿基米德螺線

方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線.阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示:

.
改變參數a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。


[編輯] 圓錐曲線

Ellipse, showing semi-latus rectum圓錐曲線方程如下：


其中l表示半徑，e表示離心率。 如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。


[編輯] 其他曲線
由於坐標系統是基於圓環的，所以許多有關曲線的方程，極坐標要比直角坐標系(笛卡爾形式)簡單得多。比如lemniscates, en:limaçons, and en:cardioids。

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極坐標 (Polar Coordinates)



平 面 上 一 點 的 位 置，除 了 用 一般 常 見 的 直 角 坐 標 來

標 示 外，尚 有 很 多 不 同 的 方 法，例 如：極 坐 標。


極 坐 標 系

在 平 面 內 取 一 個 定 點 O，從 O 引 一 條 射  Ox，選 定 一

個 單 位 長 度 以 及 計 算 角 度 的 正 方 向 ( 通 常 取 逆 時 針

方 向 )，這 樣 就 建 立 了 一 個 極 坐 標 系，O 叫 極 點，射 

Ox 叫 極 軸。

極 點 、極 軸、長 度 單 位、角 度 單 位 和 它 的 正 方 向 構 成

了 極 坐 標 系。 點 的 坐 標



如 圖，OA = 8，A 點 的 極 徑 為 8，極 角 為 45。

A 點 的 極 坐 標 為 ( 8，45)。

同 理，B 點 的 極 坐 標 為 ( 5，120)。

極坐標 (Polar Coordinates)



平 面 上 一 點 的 位 置，除 了 用 一般 常 見 的 直 角 坐 標 來

標 示 外，尚 有 很 多 不 同 的 方 法，例 如：極 坐 標。


極 坐 標 系

在 平 面 內 取 一 個 定 點 O，從 O 引 一 條 射  Ox，選 定 一

個 單 位 長 度 以 及 計 算 角 度 的 正 方 向 ( 通 常 取 逆 時 針

方 向 )，這 樣 就 建 立 了 一 個 極 坐 標 系，O 叫 極 點，射 

Ox 叫 極 軸。

極 點 、極 軸、長 度 單 位、角 度 單 位 和 它 的 正 方 向 構 成

了 極 坐 標 系。 點 的 坐 標



如 圖，OA = 8，A 點 的 極 徑 為 8，極 角 為 45。

A 點 的 極 坐 標 為 ( 8，45)。

同 理，B 點 的 極 坐 標 為 ( 5，120)。