三次方程的解？

一般情形
令K為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根r，然後把方程
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/9/b/09bc1131a281bb62e645ac010ed51c67.png
除以x − r，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。
在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。
解方程步驟：

把原來方程除以首項係數a (
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/f/4/df44347863ac17dc898a13f44f681d01.png
)，得到：




圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/d/b/edba1d0732f9c34923658c6b94d199d6.png
。

代換未知項
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/7/7/277b2d1a9e75598ed1dd24a77f334ea0.png
。故得:




圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/b/5/eb5067c1df2180e71bf154ef1000a047.png
，其中p和q是域中的數字。

來一妙著：記
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/5/5/e55d94c198dbf390b22c776448e2c22d.png
。



展開：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/a/c/0ac81364bad4183a48f80f707ce682b1.png
。
重組：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/b/1/ab1ec218861f3b22cab5e326cbc80245.png
。
分解：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/f/d/8fdf44e1c11b71e3b486803e10e357b5.png
。
因為多了一個未知項（
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/7/6/77698ae92ac0435f8da1e266eeb528e3.png
），所以可加入一個條件，就是：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/8/6/6865b500a90b0baf0c3c33c55741d8d6.png
。

設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/2/8/0281603a15f0735e68981af227bde9c5.png
的根，這方程我們已會解出。
接下來，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/7/b/87b8bf04d95e5993d17cca40efc9ea5c.png
。
在域
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/f/e/bfeb545600e3abbc7b84353936b388f1.png
是單位的立方根。
因為乘積
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/1/7/617acff074253977d7c5bad1f6f4ded3.png
。

實數情形
最先嘗試解的三次方程是實係數（而且還是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根數目不一定是3。所遺漏的根都在
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/3/f/c3f97a4420c67227501e8aa037c1c616.png
的計算中取平方根時。取立方根沒有產生問題。
可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式（乘以27）
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/c/7/4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba.png
：

若Δ > 0，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。
若Δ = 0，有一個實重根：一個三重根或一個二重根和一個單根，都是實根。
若Δ < 0，有三個實根。
注意到至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/9/8/a9854a9381d4808dfc1e2d223a8f7110.png
的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號。由於多項式是連續函數，從介值定理知道它在某點的值為0。

第一個例子
解
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5fc3d8b6c5ab520e7acdc3f8fa46e31.png
。
我們依照上述步驟進行：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/b/5/db5ce266c35d74ab5e8c47cd26815a9c.png
（全式除以2）
設x = t + 1，故t = x − 1，代換：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/4/0/440ee25c24194059cbcb18d3634f060d.png
。
x = u + v，U = u3，V = v3。設U + V = − 1和UV = − 1。U和V是X2 + X − 1 = 0的根。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/a/c/0ac3bac855d0e2cd4036520c83be3227.png
，


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/4/e/e4e29e5b3434a1e6678b3e762eba817d.png
。
t = x − 1 = u + v − 1

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/2/1/c21dd2b133fd0660a95960c23af2d635.png


第二個例子
這是一個歷史上的例子，因為它是邦別尼考慮的方程。
方程是x3 − 15x − 4 = 0。
從函數
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/4/e/c4ec77426dfe2f3005b06e8f968f158c.png
算出判別式的值Δ = − 13068 < 0，知道這方程有三實根，所以比上例更容易找到一個根。
首兩步都不需要做。做第三步：x = u + v，U = u3，V = v3。



U + V = 4和UV = 125。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/3/f/c3f97a4420c67227501e8aa037c1c616.png
是X2 − 4X + 125 = 0的根。這方程的判別式已算出是負數，所以沒有實根。很弔詭地，這方法必須用到複數求出全是實數的根。這是發明複數的一個理由：複數是解方程必需工具，即使方程或許只有實根。
我們解出U = 2 − 11i和V = 2 + 11i。取複數立方根不同於實數，有兩種方法：幾何方法，用到輻角和模（把輻角除以3，取模的立方根）；代數方法，分開複數的實部和虛部： 現設u = a + bi。

u3 = 2 − 11i等價於：

a3 − 3ab2 = 2 （實部）
3a2b − b3 = − 11 （虛部）
a2 + b2 = 5 （模）
得到a = 2和b = − 1，也就是u = 2 − i，而v是其共軛：v = 2 + i。
歸結得x = u + v = (2 − i) + (2 + i) = 4，可以立時驗證出來。
其他根是
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/3/b/13bd37e6a72c6678e72f4dbc5ab78579.png
。
當Δ是負，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/f/c/bfc9057e9d5bd1fa1b5c29c6003cc28e.png
）； 所以我們可確保x是實數，還有x'和x''。

我相信你要的是三次方程的代數解吧！這必須要有複數 (complex numbers) 的基礎。（即使所有解都是實數，但解的過程仍涉及複數的知識）。

以下是一個解法。（假設你對複數有一定認識，如果你不懂的話，你還是先把它搞清楚吧。只要你懂得解 x^3 = 1 的三個根便可以繼續……）

題：
解
　ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ...(1)

解：
設 u 和 v 為任意實數，使得
　y = u + v ...(2)
是三次方程
　y^3 + py + q = 0 ... (3)
的根（注意，這個方程沒有二次項，而三次項的係數是 1）。把根代入方程，得
　u^3 + 3u^2 v + 3uv^2 + v^3 + p(u + v) + q = 0
　(u^3 + v^3) + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0
　(u^3 + v^3) + (3uv + p)(u + v) + q = 0 ... (4)
這裡，由於 y = u + v 這個式子當中， u 可取任何數值，所以不妨對 u 和 v 設立一些限制。
現在限制 (4) 式中， (3uv + p) 必須等於0，即
　uv = -p / 3 ...(5)
並且從 (4) 式得到
　(u^3 + v^3) = -q

現在為了解出 u 和 v，我們可以建立一個以 u^3 和 v^3 為根的二次方程。
由於兩根之和 = -q，並兩根之積 = (uv) ^ 3 = -p / 27
因此，該方程是
　t^2 + qt - p / 27 = 0 ...(6)
不妨又設這二次方程 (6) 的兩個根為 h 和 k。
解得 h 和 k 之後，我們需要解兩條簡單的三次方程：
　h = u^3
　k = v^3
由於這個式各有三個根
　u = h^(1/3)，wh^(1/3)，w^2 h^(1/3)
　v = k^(1/3)，wk^(1/3)，w^2 k^(1/3)
其中 w 是二次方程 1 + r + r^2 = 0 的一個根。

因此 (2) 式 y = u + v 共有九個可能的組合。然而，(2) 式是三次方程 (3) 的根，因此這九個可能的組合中只有三個組合是正確的。
注意 u 和 v 必須 (5) 式，因此 u 和 v 相乘之後不會出現 w 這個數值。由於 w^3 = 1 （why? 如果你懂得複數的話，你應該明白的），因此只有以下三個組合
　u = h^(1/3)，v = k^(1/3)
　u = wh^(1/3)，v = w^2 k^(1/3)　　... (7)
　u = w^2 h^(1/3)，v = wk^(1/3)
現在，這三個 u 和 v 的組合中所得的三個 y = u + v 便是三次方程 (3) 的三個根了。

好了！以上即是說明，若果三次方程中沒有二次項，則可以用上述方法解出三次方程的三個根了。現在考慮方程 (1)
　ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
設
　x = y + f ...(8)
代入 (1) 可得
　a(y+f)^3 + b(y + f)^2 + c(y + f) + d = 0
然後找出 y^2 項的係數
　y^2 項的係數 = 3af + b
並設 y^2 項的係數為 0，即
　3af + b = 0
　f = -b / 3a ...(9)
現在我們把一條關於 x 的三次方程化為沒有 y^2 項的三次方程，那麼可以從上面方法解得 y，並從 (8)、(9) 解得
　x = y + f
　x = y - b / 3a ...(10)

Q.E.D.

那麼，要解一般的三次方程式 (1)，
第一步：用 (8)、(9) 計算 f、p 和 q 的值。
（這一步是為了建立 (3) 式，注意要確保 y^2 項消去，並且 y^3 項的係數為 1。）
第二步：解方程 (6)，並按 (7) 取得方程 (3) 的三個根。
（注意，w 是當作一個常數，而這些根均是以 w 表示。）
第三步：把 (3) 的根代入 (10) 得 (1) 的根。

補充一些定理
1. 從中值定理 (intermediate value theorem) 可知，實係數的三次方程至少有一個實根。
2. 從代數基本定理(fundamental theorem of algebra) 可知，n 次方程（n 為正整數）在複數中共有 n 個根（包括多重根）。

http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation

一至四次方程都有general formula去解
五次或以上就没有