0÷0=0/1/undefined?

用反證法
假設 0/0 是一個非 0 數 a (i.e. well-defined)。
As 0 = 4 x 0
Thus 4 x 0 / 0 = 4a
But 4 x 0 / 0 = 0 / 0 = a
Hence a = 4a
As 3a = 0 ==> a=0
有矛盾，所以假設錯。
結論：0/0 = 0 or undefined.

當 0/0 = 0
...

2007-03-05 13:38:56 補充：
根據定義，除數 = 被除數 x 商計算 0/0 時,0 = 0 x 商所以商可以任何數，因此 undefined。

1. 0÷0=0

這是很正常的,沒有什麼可解釋

I think is correct!!!!

〔以下的解答有部分可能較深(其實也不很深)，請仔細閱讀。〕
相信從你學習除法開始，老師便會告訴你正確答案是：
　3. 0÷0=? 沒有數可比0除
(「比」字應該寫作「被」)
我猜想你應該是在問為甚麼不能除以零。

a÷b 定義為一個數 (記作 c = a÷b) 若 a = bc 成立。然而，我們要考慮兩個問題：
一、是否存在這個 c 使得 a = bc 成立；
二、若然這個 c 存在的話，究竟它是否只有唯一的 c 使得 a =bc 成立。

現在考慮「除以0」的問題，故不妨設 b = 0。相信你不難看出：
一、若 a 不等於 0，則沒有可能有 c 使得 a = bc。
(因為 a = bc = 0c = 0 這是對於任何 c 都是不可能的。)
二、若 a 等於 0，則 a = bc 即是 0 = 0c，那麼, c 並不唯一的。
(因為任何一個 c 都使 a = bc 成立。)
因此，當 b = 0，無論 a 是否 0，都不能按照除法「一般的」定義方法來給 c = a÷b 下定義。

以上的說明亦已經否定了答案 1, 2（因為不容許「除以 0」）。另外以下為這兩個答案作澄清：

　1. 0÷0=0,這是很正常的,沒有什麼可解釋
(這可能並不真的是沒有什麼可解釋，因為有「0 除以任何數都是 0」)
澄清：雖然我們說「0 除以任何數都是 0」，但嚴格上認該說「0 除以任何非 0 的數都是 0」。

　2. 0÷0=1 任可數相除都會是1
澄清：雖然我們說「任何數除以自己都是 1」，但嚴格上認該說「 除了 0 以外，任何數除以自己都是 1」。

以下是進一步說明：

若果我們容許「除以 0」這種混算，會破壞數字系統的一些性質。
用以下例來說明（類似的例子在一些課本也會出現，叫學生找出錯處，下例取自維基百科）：

對於任何數 a 及 b，定義
c = a − b
兩邊同時乘以 (a − b)
(a − b)c = (a − b)(a − b)
a^2 − 2ab + b^2 = ac − bc
a^2 − ab − ac = ab − b^2 − bc
因式分解
a(a − b − c) = b(a − b − c)
兩邊除以公因式 (a − b − c)
a = b
結論：任何兩個數 a 及 b 都必定相等(即它們不能是相異的)。

顯然，除了最後一步之外，每步運算均正確。
而最後一步中，該公因式 = a − b − c = (a − b) − c = c − c = 0。
故此，容許「除以 0」這種混算便會導致數字系統的缺陷(不能出現相異的數值)。

〔事實上，若果你的系統只有一個數值，叫作 r，那麼你定義它為 0，並且為除以 r (即是除以 0)下定義也無妨，但你的系統則只會有一個數值，而人家的系統卻可以有很多數值。〕

這個例子見於英文維基百科中 Invalid proof 條目。

最後稍為一提，在極限(limits)裡有「除以 0」，然而這個「除」跟數字的「除法」有不同的意思。在極限中，若然分母趨於 0，那便會記作「除以 0」。例如 1 / 0 = ∞（見其他回答者），但要留意，「無限」不是一個數字，它跟數字有不同性質，例如 ∞+∞=∞
（數字中只有 0 + 0 = 0 有這性質，但∞不是 0，而且須注意到，當涉及無限時，四則運算的意義跟平時數字的四則的意義有所不同。否則你可能會這樣推論：
　因為　 a + b = b 可得 a = 0
　今代入 a = b = ∞ 可得 ∞ = 0
在英文維基百科中 Invalid proof 條目中有一個類似例子「Proof that ∞ = 1/4」。）