Find A Magic Number

假設是一個k + 1 digit number x = 10^k S + N, k > 0, 0 < S < 10, 0 <= N < 10^k

After you move the first digit to the last place

y = 10N + S

y = 1.5 x

所以

10N + S = (1.5) [10^k S + N]
10N + S = (1.5) 10^k S + 1.5N
8.5N = [(1.5)10^k - 1]S

N / S
= [(1.5)10^k - 1] / 8.5
= [(3)10^k - 2] / 17

由於 S 不可能是 17, [ 0 < S < 10 ], 所以，只要找出一個K, 個分子可以被17整除，這個份數就可以約簡。相反，如果這個分數永遠不能約簡，那就不可能存在magic number。

如果這個分數能夠約簡, 那麼分子就是N，S就是1 <- 約簡只有一個辦法，就是上，下除17。

分子是可以當N的，因為分子是一個整數，而且
N = [3(10)^k - 2] / 17 = 3/17 (10)^k - 2/17 < 3/17 (10)^k < 10^k.

所以，唯一剩下的問題，就是如何找到一個K, 使[(3)10^k - 2]被17整除。在網上，找到一段如何測試一個數是否能被17整除的方法。

[Copied]
Test for divisibility by 17. Subtract five times the last digit from the remaining leading truncated number. If the result is divisible by 17, then so was the first number. Apply this rule over and over again as necessary.
Example: 3978-->397-5*8=357-->35-5*7=0. So 3978 is divisible by 17.
[End Copied]

我試過用上述方法，試過k = 1 到 14，還是不對。我很懷疑這個magic number是否真的存在。

假設我們的問題改了一點，不問1.5倍，問4.5倍。（這個magic number的存在的，就是18/81)

用同一方法。
10N + S = (4.5) [10^k S + N]
10N + S = (4.5) 10^k S + 4.5N
5.5N = [(4.5)10^k - 1]S

N/S = [(4.5)10^k - 1] = [(9)10^k - ２]/11

問題變了[(9)10^k - ２]能否整除11，設k = 1就可以了。
原來k = 3 也可以，這時候,
N =[9(10)^3 - 2]/11 = 818

1818 x 4.5 = 8181

留意做這類題目時，分母不一定是質數，整除分母的質因子後可能還要檢查S是否少於10。

我沒有完成這題目。如果這個magic number 存在，那麼用我的方法一直搜下去一定會有結果。相反，你就需要提供一個證明這個數不可能被17整除。

2007-03-03 23:24:14 補充：
用上述方法，使用電腦，我已經找出了一個magic number它就是1176470588235294 * 1.5 = 1764705882352941當然 S 不一定要是1，如 S = 22352941176470588 * 1.5 = 3529411764705882

2007-03-10 08:15:11 補充：
I also tried to improve the simplicity of the answer, although I haven't did it so, I 'guess' the first one I searched is the smallest positive answer that you can find.