數學題6題

5(b).
展開(4x^2-3x+1)(px+q)

　(4x² - 3x +1) (px + q)
= 4px³-3px² + px + 4qx² - 3qx + q
= 4px³ + (-3p+4q)x² + (p-3q)x + q

(b)在(a)小題的結果中,若x^2和x的係數╓別是23和-11,求p和q的值。

-3p+4q = 23　--- [1]
p-3q = -11　--- [2]

[1] + 3*[2]
(-3p+4q) + 3(p-3q) = 23 + 3(-11)
　-5q = -10
　q = 2

Sub q = 2 into [2]
p - 3(2) = -11
p = -5

16.
因式分解10x^3-5x^2+20x-10

　10x³ - 5x² + 20x - 10
= 5 (2x³ - x² + 4x - 2)
= 5 (2x³+4x - x²-2)
= 5 [ 2x(x²+2) - (x²+2)]
= 5 (2x-1) (x²+2)

17.
因式分解36x+12x^3-8-40x^2

　36x + 12x³ - 8 - 40x²
= 4 (3x³- 10x² + 9x -2)
= 4 [ 3x²(x-1) -7x² + 9x -2 ]
= 4 [ 3x²(x-1) -7x(x-1) +2x-2]
= 4 [ 3x²(x-1) -7x(x-1) +2(x-1)]
= 4 (x-1) (3x² - 7x + 2)
= 4 (x-1) (3x-1) (x-2)

22.
(a)求證x+1是x^3-x^2-4x-2的因式。

將 x=-1 代入 x³ - x² - 4x - 2
　(-1)³ - (-1)² - 4(-1) - 2
= -1 - 1 + 4 - 2 = 0
所以 (x+1) 是　x³ - x² - 4x - 2 的因式。

(b)由此,解方程x^3-x^2-4x-2=0
(以根式表示)

　x³ - x² - 4x - 2 = 0
x² (x+1) - 2x² - 4x - 2 = 0
x² (x+1) - 2x (x+1) - 2x -2 = 0
(x+1) (x²-2x-1) = 0
　x = -1　or　[2 ± √(4+4)]/2
　x = -1　or　1 ± √2

23.
若x-2和x+1均為3x^3+ax^2+bx+8的因式,求a和b的值。

由於 x-2 是 3x³ + ax² + bx + 8 的因素
故代入 x=2
　3 (2)³ + a(2)² + b(2) + 8 = 0
　24 + 4a + 2b + 8 = 0
　　　　2a + b + 16 = 0　--- [1]

由於 x+1 是 3x³ + ax² + bx + 8 的因素
故代入 x=-1
　3(-1)³ + a(-1)² + b(-1) + 8 = 0
　-3 + a - b + 8 = 0
　　　a - b + 5 = 0　--- [2]

[1] + [2]
　2a+b+16 + a-b+5 = 0
　　　　　　3a = -21
　　　　　　a = -7

將 a=-7 代入 [2]
　　(-7) - b + 5 = 0
　　　　　b = -2

24.
已知多項式f(x) : x^3+px^2+qx-6可被(x+3)(x-1)整除。
(a)求p和q的值。

f(-3) = (-3)³ + p(-3)² + q(-3) - 6 = 0
　　　　　　　9p - 3q = 33
　　　　　　　3p - q = 11　--- [1]

f(1) = (1)³ + p(1)² + q(1) - 6 = 0
　　　　　　　p + q = 5　--- [2]

[1] + [2]
3p-q + p+q = 11+5
　　　4p = 16
　　　p =4
∴ q = 1

(b)因式分解f(x)

f(x) = x³ + 4x² + x - 6
　　= x² (x-1) + 5x(x-1) + 6(x-1)
　　= (x-1) (x² + 5x +6)
　　= (x-1) (x+3) (x+2)