牛津力學的生活例子 急急急 聽日交

由太和火車站到粉嶺火車站
當你乘坐火車時，你便可以親身體驗到牛頓力學。由太和火車站到粉嶺火車站，全程約有6公里。假設這段火車路軌是筆正而平坦，當火車由太和火車站出發，它就在約1公里的距離內由靜止加速至行駛速度每小時100公里。速度v就可以用已行駛距離x的指數函數來模擬(請參考圖1)。雖然這裏只用了很簡單的數學，但所計算出來的v(x)已經足夠應付現實生活上大部份的估計了。















加速度
先計算加速度a(x)為x的函數。利用簡單的微積分，得出
;(1)

所以，a(x)只不過是v(x)相對x那一條曲線的斜率 (圖1)再乘以速度。圖2紅線(左軸)顯示了a(x)的變化。我們可以觀察到火車起始時加速至最快，接著以勻速行駛。加速度的峰值大約為重力的百分之五，這種程度的加速是大部份人都能接受的。

起動功率
現在我們估計一下，引擎究竟施加了多少力在火車上以使其加速。通常一列火車有12卡車廂，每卡車廂淨重約40公噸，而每卡車廂的載客量約300位，所以一列火車連乘客的總質量有7105 公斤。起動力F(x)是質量乘以加速度，圖2內紅線(右軸)顯示了F(x)的變化。原來最大起動力可高達34萬牛頓。在此我們需要留意兩點：第一、在起動時火車會用所有引擎可發出的最大功率來加速，而大多數火車都有四個引擎，每一個可以發出高達約10萬牛頓的拉力!!! 第二、當火車行走時，車輪與路軌之間的摩擦係數大約為0.1；但當火車靜止時，摩擦係數則增加至0.3。所以若果火車質量是7105公斤，那麼阻力 (70 - 200萬牛頓) 就一定足夠防止滑出車軌了。
引擎所發出的功dW是F dx，那麼所消耗的功率就是dW/dt = F dx/dt = F v(圖3紅線示)。最大的功率約為55萬瓦特，或約7, 400匹馬力。因為我們正在運載著約一千個人，所以需要7, 400匹馬是合理的。




不費力地行駛?
根據圖3內的紅線，當火車的行駛速度達每小時100公里的時候，引擎就可以關掉。但這是不切實際的，因為儘管火車並不是在加速，引擎都必需做功來克服所有阻力，包括軸承阻力及車輪與路軌之間的阻力。這種機械阻力 原來會隨著火車的速度而增加。本地火車的 可以用v (單位為公里每小時) 的多項式來表示: 。除了機械阻力之外，引擎亦需要發功來克服空氣阻力。靜止空氣的空氣動力阻力 (單位為牛頓)差不多等於火車速度(單位為公里每小時)的平方: 。而總阻力就是Rm 和 Ra的總和:
(2)

因此，引擎所發出的力FT就等於總阻力R加上起始力F(x)。圖2中藍線(右軸)顯示了FT。我們可以觀察到起始時用來克服阻力的力只不過佔很少部份，但在往後的行駛過程中，克服阻力就佔上很大部份了。同樣道理，當阻力需要計算在內時，引擎所需要發動的力就更多(圖3藍線示)。


電費
如果要完成這個旅程，究竟需要付多少電費呢? 首先我們計算一下引擎一共作了多少功。功的總和為 ，即是圖2藍線下的面積，大概有 焦耳。假設其效率約有百分之七十，那麼總耗電量就約 焦耳。而高用電量的客戶每千瓦小時收取約0.5元，所以 焦耳的用電量就需要收取約125元了。


享受旅程
但願你現在會欣賞物理學為你帶來的方便。你只需根據一些假設，就可以用簡單的數學來估計火車運動上有關於動力學的變數。當你察覺火車在太和火車站出發時燈光會變得暗淡及空調變弱，你就知道引擎正在將一部份的功率分配到作為加速火車之上。而且你亦會知道你所支付的車費中有多少是用作支付電費。當然，你還可以發現你周遭其實有更多與牛頓力學有關的例子。而當你有一天成為香港首位太空人時，你就會更清楚知道太空旅程也只不過是另一個牛頓力學的應用罷。

搭車個陣轉彎個陣身體ge擺動就係因為身體ge Inertia~
就係Newton First Law