11的整除規律

朋友，你當日浪費我一題，咁耐終於肯再現身喇。( 實數閉集的題目(不易) ) 留意 10≡- 1 (mod 11)
對任意的正整數 n , 存在非負整數 k 使得 n 有如下表示式
n = a0 + a110 + .... + ak-110k-1 + ak10k
其中 ai 為正整數，i=1, 2, ..., k。
所以
n≡a0 + a110 + .... + ak-110k-1 + ak10k≡a0 + a1(-1) + .... + ak-1(-1)k-1 + ak(-1)k ≡a0 - a1+ .... + ak(-1)k (mod 11)
其中 a0 - a1+ .... + ak(-1)k 就是把奇數項之和減去偶數項之和。
所以，如 a0 - a1+ .... + ak(-1)k = 0 ，可得
n≡a0 - a1+ .... + ak(-1)k ≡0 (mod 11)
因此 n 可以被 11整除。

圖片參考：http://i175.photobucket.com/albums/w130/bjoechan2003/My%20Cat%2020070228/DSCN0685.jpg?t=1172373912

設

O(n) =
(o_n){10^[2(n-1)]}
+ [e_(n-1)]{10^[2(n-1)-1]} + [o_(n-1)]{10^[2(n-2)]}
+ [e_(n-2)]{10^[2(n-2)-1]} + [o_(n-2)]{10^[2(n-3)]}
+ ...
+ (e_1)(10) + (o_1)(1)

E(n) =
(e_n)[10^(2n-1)] + (o_n){10^[2(n-1)]}
+ [e_(n-1)]{10^[2(n-1)-1]} + [o_(n-1)]{10^[2(n-2)]}
+ [e_(n-2)]{10^[2(n-2)-1]} + [o_(n-2)]{10^[2(n-3)]}
+ ...
+ (e_1)(10) + (o_1)(1)

其中i為任何正整數, (o_i)和(e_i)為任何正整數.




當n = 1,

不用考慮O(1), 因為只有一個位, 不在命題中. (命題假設由兩位數字開始證明.)

E(1)
= (e_1)(10) + (o_1)(1)
= 11(e_1) + (o_1) - (e_1)

11(e_1)是11的倍數, E(1)為11的倍數當且僅當(o_1) - (e_1)是11的倍數.
注意: 0也是11的倍數.

當n = 2,

O(2)
= (o_2)(10^2) + (e_1)(10) + (o_1)(1)
= 100(o_2) + 10(e_1) + (o_1)
= 99(o_2) + 11(e_1) + (o_2) + (o_1) - (e_1)

99(o_2)和11(e_1)都是11的倍數, O(2)為11的倍數當且僅當(o_2) + (o_1) - (e_1)是11的倍數.


假設命題對於某些正整數k成立, 即

O(k)為11的倍數, 當且僅當
(o_k) + [o_(k-1)] + [o_(k-2)] + ... + (o_1) - {[e_(k-1)] + [e_(k-2)] + ... + (e_1)}
= 11(N_o)

E(k)為11的倍數, 當且僅當
(o_k) + [o_(k-1)] + [o_(k-2)] + ... + (o_1) - {(e_k) + [e_(k-1)] + [e_(k-2)] + ... + (e_1)}
= 11(N_e)

其中(N_o)和(N_e)為整數.


當n = k+1,

O(k+1) =
[o_(k+1)][10^(2k)]
+ (e_k)[10^(2k-1)] + (o_k){10^[2(k-1)]}
+ [e_(k-1)]{10^[2(k-1)-1]} + [o_(k-1)]{10^[2(k-2)]}
+ ...
+ (e_1)(10) + (o_1)(1)

= [o_(k+1)][10^(2k)] + (e_k)[10^(2k-1)] + O(k)
= [o_(k+1)][10^(2k-1)](10) + (e_k)[10^(2k-1)] + O(k)
= {(10)[o_(k+1)] + (e_k)}[10^(2k-1)] + O(k)
= {(11)[o_(k+1)] - [o_(k+1)] + (e_k)}[10^(2k-1)] + O(k)
= (11)[o_(k+1)][10^(2k-1)] - {[o_(k+1)] - (e_k)}[10^(2k-1)] + O(k)

因(11)[o_(k+1)][10^(2k-1)]為11的倍數, 若O(k)為11的倍數, O(k+1)為11的倍數當且僅當{[o_(k+1)] - (e_k)}[10^(2k-1)]為11的倍數, 即

O(k+1)為11的倍數, 當且僅當
[o_(k+1)] + (o_k) + [o_(k-1)] + [o_(k-2)] + ... + (o_1) - {(e_k) + [e_(k-1)] + [e_(k-2)] + ... + (e_1)}為11的倍數.

相似地, E(k+1)為11的倍數, 當且僅當
[o_(k+1)] + (o_k) + [o_(k-1)] + [o_(k-2)] + ... + (o_1) - {[e_(k+1)] + (e_k) + [e_(k-1)] + [e_(k-2)] + ... + (e_1)}為11的倍數.

證畢.

不好意思, 可能寫得不太好, 但主要想給你知道證明的其中一個方法, 有問題歡迎提出. ^_^

2007-02-25 11:57:16 補充：
漏了一句, 利用數學歸納法, 對於所有正整數n大於1, O(n)成立; 對於所有正整數n大於等於1, E(n)成立.鳴...貓朋兄的簡單得多, 今回又輸了.T_T

11的倍數即係１１＋１１＋１１．．．．．．
每加一個數都係同一時間個位及十位都多了１，把奇數項減去偶數項就等於把該數值－１１－１１－１１－１１．．．最後當然係１１的倍數或０了！