三角形有咩性質ar?

性質

定理

三角不等式：

三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。

三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

勾股定理及其逆定理：

設三角形ABC的三頂點A、B、C所對的三邊分別為a、b、c，則a2 + b2 = c2等價於角C=90°。

正弦定理（R為三角形外接圓半徑）：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/6/c/36ce6846649215734850d4cf74eac1ee.png


餘弦定理：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/1/e/81e8999d8bda132c69465873574e0f60.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/3/9/239b92a0b5f513ddfaa4538c0e050a45.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/a/e/4aea76a62d53d0131816950d8953eb86.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/0/0e/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%86%85%E8%A7%92%E3%81%A8%E5%A4%96%E8%A7%92.png


角度
三角形兩隻內角之和，等於剩下的一隻的外角。
在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

分類

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/%E9%88%8D%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/f/f5/%E4%B8%8D%E7%AD%89%E8%BE%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.png


銳角、鈍角三角形
鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其餘兩角均小於90°。
銳角三角形的所有內角均為銳角（小於90°）。

直角三角形

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/Right_triangle.png
有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。 成直角的兩條邊稱為直角邊，直角所對的邊是斜邊（hypotenuse）；或最長的邊稱為弦，，底部的一邊稱作勾（又作句），另一邊稱為股。
可以透過不同角度的直角三角形各邊的比求得銳角三角函數。

等邊三角形

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Triangle.Equilateral.svg/100px-Triangle.Equilateral.svg.png

等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是a，則其面積公式為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/a/c/bac5b5c7f6290b911e34310a8d2d78b2.png
。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

等腰三角形

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Triangle.Isosceles.svg/100px-Triangle.Isosceles.svg.png

等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為腰，而另一條邊被稱為底邊，兩條腰交叉組成的那個點被稱為頂點，它們組成的角被稱為頂角。 等腰三角形的重心、中心和垂心都位於頂點向底邊的垂線上。
等腰三角形的底的垂直平分線，剛好又是對應角的角平分線，同時又是
等邊三角形是等腰三角形的一個特殊形式。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/thumb/8/87/%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%BA%8C%E7%AD%89%E8%BE%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.png/180px-%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%BA%8C%E7%AD%89%E8%BE%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.png



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩個角為45度。

退化三角形
面積為零的三角形。

特性
三角形是具有穩定性：當三角形的三邊確定後，它的形狀、大小就不會改變。

面積

已知兩邊及其夾角
設a、b為所知的兩邊，C為該夾角，三角形面積為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/d/c/3dcde285c447d48b6bc42bb636112d6c.png
ab sin C。

已知底和高

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Triangle_area.gif


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/d/c/3dcde285c447d48b6bc42bb636112d6c.png
底x高。因為兩個相同的三角形疊合可成平行四邊形。

已知三邊長
海倫公式： 設p等於三角形三邊和的一半：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/a/c/dac8afe56b84b0465eb539cf018e3a7f.png

則


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/5/b/c5b0ebe5a1e49bbc492e4a3271404649.png

化簡後就是：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/1/f/11fc5e39b3c14bed50e3d1f6f3826359.png

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/8/7/38757763a4d06dbfc40e89b2946b472c.png

基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設a ≥ b ≥ c，三角形面積為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/7/6/376088a26d717ef0a030e8874352c78d.png


其他三角形有關的定理

拿破崙三角形
費馬點
歐拉線
梅涅勞斯定理

三角形的五心


名稱 定義 圖示 備注

內心
三個內角的角平分線的交點

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/thumb/5/59/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%86%85%E5%BF%83.png/300px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%86%85%E5%BF%83.png

三角形內接圓的圓心

外心
三條邊的垂直平分線的交點

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/a/a1/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%A4%96%E5%BF%83.png

三角形外接圓的圓心

垂心
三條高的交點

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/7/7d/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%9E%82%E5%BF%83.png



重心
三條中線的交點

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/thumb/8/81/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%87%8D%E5%BF%83.png/300px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%87%8D%E5%BF%83.png

被交點劃分的線段比例為1:2 (靠近角的一段較長)

旁心
外角的角平分線的交點

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/thumb/0/00/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%82%8D%E5%BF%83.png/300px-%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%82%8D%E5%BF%83.png

有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Triangle.EulerLine.svg/182px-Triangle.EulerLine.svg.png
垂心（藍）、重心（黃）和外心（綠）能連成一線，稱為歐拉線。