圓球體體積的證明

圖片參考：http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math101/notes/applications/onedisk.gif


When the curve of y = √(r^2-x^2) revolves around the x-axis, it generates a sphere with radius r.

Volume

=π∫[from -r to r] (√(r^2-x^2))^2 dx

=π∫[from -r to r] (r^2-x^2) dx

=π(r^2x-x^3/3)[from r to -r]

=π(r^3-r^3/3+r^3-r^3/3)

=4/3πr^3

NOTE: A continuous function f(x) with positive images in interval [a,b], revolving around the x-axis, the volume is

π∫[from a to b] f(x)^2 dx


2007-02-13 17:14:42 補充：
應是=π(r^2x-x^3/3)[from -r to r]

2007-02-13 17:19:47 補充：
冇可能﹐我幅圖點會係你畫???我講下點解個積分範圍是-r到r因為我們是用x軸上方的曲線去繞個x軸形成一個球體。而這條曲線的兩端點為(-r,0),(r,0)不過都係要學微積分先明裡面個0的運算

　　球體體積是求積法其中一項須要研究的題目。在二千多年前，希臘數學家阿基米德（Archimedes）經已發現球體體積的公式，而且採用的方法更是使用了積分的概念。在中國則要到南北朝時代才正確地求出球體的體積，而使用的方法稱為「牟合方蓋」。

　　中國的數學典籍《九章算術》的「少廣」章的廿三及廿四兩問中有所謂「開立圓術」，「立圓」的意思是「球體」，古稱「丸」，而「開立圓術」即求已知體積的球體的直徑的方法。其中廿四問為：

　　「又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何？

　　開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。」


從中可知，在《九章算術》內由球體體積求球體直徑，是把球體體積先乘16再除以9，然後再把得數開立方根求出，換言之

球體體積＝(9 x 直徑3)/16

以現代的理解，這公式當然是錯的，但以古時而言也不失為一個簡單的公式來求出近似值。


　　當然這個結果對數學家而言是極之不滿的，其中為《九章算術》作注的古代中國數學家劉徽便對這公式有所懷疑：

　　「以周三徑一為圓率，則圓冪傷少；令圓囷為方率，則丸積傷多。互相通補，是以九與十六之率，偶與實相近，而丸猶傷多耳。」


即是說，用π≒3來計算圓面積時，則較實際面積要少；若按π：4的比率來計算球和外切直圓柱的體積時，則球的體積又較實際多了一些。然而可以互相通補，但按9：16的比率來計算球和外切立方體體積時，則球的體積較實際多一些。因此，劉徽創造了一個獨特的立體幾何圖形，而希望用這個圖形以求出球體體積公式，稱之為「牟合方蓋」。



圓柱體積 = ´ 球體體積
圓柱面積（包括底面）= ´ 球體面積

摘要

阿基米德（Archimedes）是古希臘三大數學家和歷代三大數學家之一，畢生對數學貢獻無數，在二千年前已著手研究曲線的周長、面積和體積問題，其獨特的思考方法開創了許多個數學概念的先河，包括積分、三次方程解和結合力學到數學研究方法上。

今次有幸選擇介紹阿基米德作為功課題目，在參考多本權威史記後，筆者以探討阿基米德的數學成就和研究方法兩部分來寫成本文，而且列出部分命題的證明，希望讀者除了認識這位傳奇人物的偉大之處，亦可嘗試在他的思想世界內穿梭。

他的著作繁多，每本也針對一些數學問題而寫成，在討論那些問題時，往往引伸其他有趣的數學問題，促成他在多個數學分支的成就。因此，在數學成就的部分，本文將對各著作和各成就作詳細敘述。

研究方法的部分是本文的精粹，那裡把數學成就的各章融為一體，析述阿基米德在研究背後的數學哲學，包括利用非邏輯方法探索數學問題。

作為介紹數學歷史的文章，無可避免談及一些數學名詞和概念，有時更可能魯莽地說得含混不清，筆者已盡有限的能力，把不容易明白的地方（縱然可能存在無限個）闡述清楚，務求無論是擅長與不擅長、喜歡與不喜歡數學的人也看得懂這篇文章。