為何圓周率 π X r X r = area?? π X r X r X r X 4 / 3 = volume???

兩條式都可以用微積分求出的, 請先見下圖:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Volareacir1.jpg

【此圖乃本人自製圖片，未經本人同意勿擅自連結或使用】
在上圖中, 利用旋轉體積公式將圓環的上半部沿 x 軸旋轉後便可得出一球體, 體積為:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Volareacir2.jpg

至於面積方面, 再見上圖, 其天藍色陰影部分的面積(半圓形)可求出如下:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Volareacir3.jpg

所以, 全圓形的面積就等於 2A = πr2.

把 r 拿掉，最後的答案可以用ratio來claim的，那麼答案會簡潔得多。

另外你有幾條題目用了integration計harmonic series limit。
實際是怎樣做的，看了不太明白。

這條是球體的公式
推導方法不難
r
∫π f^2(x) dx
-r

其中r是球體半徑,f(x)是繞x軸旋轉的線,是圓形的方程式y=(1-x^2)^(1/2)

r
∫π f^2(x) dx
-r

r
=π∫(r^2-x^2) dx
-r

=π[(r^2)r-(r^2)(-r)-(r^3/3-(-r)^3/3)]
=π(2r^3-2r^3/3)
=4πr^3/3

4/3 * PI * R^3 是球體的體積. 設我們看球體, 所看到的是一個平面圓形. 圓形的週線公式是: X^2 + Y^2 = R^2. 這條公式在4個QUANTRANT里都是正確的. 所以分析時只需考第一個QUANTRANT就可以了.

在第一個QUANTRANT的圓周線公式所劃出的線等於1/4 圓形. 若將這1/4 圓形周線沿著X 軸旋轉, 會得出半個球體的體積了.

數學上, 將上述公式take derivative, 然後再take integration from x = 0 -> x. 就會得出上述球體的公式.

剛才所述的是微積分的數學, 多年沒用了, 只記得原理, 望能給你一點提示. 至於具體如何操作, 找一下微積分的數學書就會有詳細的答案.

係由d科學家不斷嘗試唔同圓周, 半徑同面積等既關系
再整一個圖表
利用個圖計到條式出來的