SIN COS TAN

沒錯, 閣下所言甚是. sin, cos 和 tan 都是有公式計算的 (只用四則運算法). 在此請容我介紹一下 泰勒數列 (Taylor's series):
對於一個 n 次可微 (n-time differentiable) 函數 f(x), 若其自變數 (independent variable),即 x 發生了變量 △x 後, 其函數的改變可以用泰勒數列求出如下:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Taylor.jpg

如此, 若將 x0 和 △x 分別代做 0 和 h 的話, 則:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Maclaurin.jpg

此數列稱為麥克林數列 (Maclaurin series), 即將泰勒數列於 x = 0 展開成一個以 x 為主項的多項式.
如是者, 請先看 sin x 和 cos x 的導數 (於 x = 0) 的變化:
若 f(x) = sin x:
f(0) = 0
f'(0) = -cos 0 = 1
f''(0) = -sin 0 = 0
f(3)(0) = -cos 0 = -1
f(4)(0) = sin 0 = 0
由此可見每四階導數其值便作一循環.
將此代入麥克林數列中可求出:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Sinemac.jpg

同樣地, 若設 f(x) = cos x:
f(0) = 1
f'(0) = -sin 0 = 0
f''(0) = -cos 0 = 1
f(3)(0) = sin 0 = 0
f(4)(0) = cos 0 = 1
亦是每四階導數其值便作一循環.
將此代入麥克林數列中可求出:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Cosmac.jpg

要注意的是, 代數值入上式時, h 需為弧度 (radian) 作單位而非角度 (degree).
至於要加至第幾項, 則否視乎代入 h 的數值和所需的準確度. 例如當 h = 0.1 時, 考慮到 8 次方的已是小數後第 13 位, 算是很高的準確度了.
而且從 sin 的麥克林公式亦不難發現 lim(h→0)(sin h/h) = 1 的一個重要極限 (Limit).
最後, 對於 tan 來說, 若再以以上方法求的話:
f(x) = tan x:
f(0) = 1
f'(0) = sec2 0 = 1
f''(0) = 2sec2 0 tan 0 = 0
f(3)(0) = 2sec4 0 + 4sec4 0 tan2 0 = 2
f(4)(0) = 24sec2 0 tan 0 - 8sec2 0 tan 0 = 0
由此可見, tan x 的導數並沒有一個循環可言, 而且導數的階數越高, 所變出的表達就越見複雜. 故此, 對 tan x 我們沒有一個簡單的麥克林數列表達法, 則唯有用回 sin x/cos x 的表達法了, 所以:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Maths/Tanmac.jpg

唔係個個人都明呢d野架,
如果係既話,就攞d簡單既料出來
事費大家唔明你講乜
板主凈係要公式咋

tan a = sin a / cos a

( sin a )^ 2 + (cos a )^ 2 = 1


二倍角公式：
sin2α = 2sinαcosα
cos2α
= cos2α − sin2α
= 2cos2α − 1
= 1 − 2sin2α

三倍角公式：
sin3α = 3sinα − 4sin3α
cos3α = 4cos3α − 3cosα