唔明呀……

「崩して書く」這個詞的確是「草書」的意思，但這裡是當作動詞使用。
當一個動詞連接一個名詞時，動詞就變成了那個名詞的修飾語。而這裡就成了「書き方」（意：寫法）這個名詞的修飾語。

所以全句是：
從把漢字潦草地寫出來的這種寫法而造出的平假名的同時，亦把漢字的其中一部分抽取出來而造出了片假名。

P.S. 很特意地把「崩して書く書き方」譯成「潦草地寫出來的這種寫法」，但其實簡單地說就是草書…

點解用左連續2個「書く書き方」唔只用一個書き方??
漢字を崩して書く書き方から、平仮名が作られると同時に、漢字の一部を取って、カタカナが作られた。

崩し解決係草書
翻譯為中文:
用破壞漢字寫的寫法，平假名被製作的同時，取漢字的一部分，片假名被做(製作)了。
破掉解決員草書
點解用左連續2個「書く書き方」唔只用一個書き方??
意思是用破壞漢字來寫的寫法，因此它用了連續2個「書く書き方」

漢字を崩して書く書き方から、平仮名が作られると同時に、漢字の一部を取って、カタカナが作られた。