what is 圓周率？

早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。讓我們看看古巴比倫人和埃及人的發現：

古巴比倫

巴比倫人從計算周界發現 ：一塊出土於 1936 年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期 (約公元前 1900-1600 年) ，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36 (以底數 60 計，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圓的周界：

六邊形周界 = 24/25 ´ 其外接圓周界 = 24/25 ´ p ´ 直徑

由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值：

p 〔巴比倫〕= 25/8 = 3.125

埃及

埃及人則從面積計算得 (約公元前 2000 年) ：在賴因德古本 (Rhind Papyrus)，記載了一條有關圓周率的問題：「一塊圓形土地的的直徑長 9，它的面積為何……取圓直徑的九分八，做為正方形的邊形，就可得到和圓等面積的正方形」。亦即：

A = (8d/9)2

由此，得出圓周率的近似值：

p 〔埃及〕 = (16/9)2 = 3.16049...

再多一點點記載

中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。

聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。

在這段期間，人們都是為生活而作計算，鮮有為圓周率而找圓周率。他們的發現多源自經驗 (實際量度) 所得，對圓周率的興趣只在於它在建築及工程上的應用，最多也只是想找出圓周率的值是多少。

直至公元前約四世紀，人類才轉往追問如何找出圓周率的值，開始為圓周率而找圓周率：

一個對找出圓周率之值的重要發現：「窮舉法」

古希臘

安提豐（Antiphon，約公元前 430 年）和布賴森（Bryson，公元前 408 - 355 年）想出一個方法計算平面圖形面積的方法－「窮舉法」（Method of Exhaustion）。他們也嘗試以「窮舉法」來計算圓的面積：

「畫一個正六邊形，將它的邊增加兩倍，再不繼倍增，這個正多邊形最後就會"變成"圓形。」

此外，布賴森更開創了一個新想法以計算圓的面積：計算圓的外切多邊形和內接多邊形的面積，圓的面積就介乎他們之間。這可能是人類首次以上下限迫近一個值。

可惜的是，礙於不懂得計算多位數，他們未能將「窮舉法」應用到找出圚周率的值。不過，他們用「窮舉法」把多邊形迫近圓的想法，則啟發了其他的數學家，令他們找到一個計算圓周率的值的方向。




圓周率是怎樣算出來的？

【資料來源：數理化通俗演義 理藝出版社】

第十回

割圓不盡 十指磨出血

周率可限 青史標美名

－圓周率是怎樣算出來的？

卻說那次祖沖之在戴法興的壽宴上測報月蝕，得罪了這個權臣，自覺在京城不好存身了，便應邀到南徐州(今江蘇鎮江)作了刺史劉延孫的助手。好在這個職務比較清閒，他便把大部分時間維續用來研究天文曆法。積三年之辛苦，於公元426年(大明六年)他終於搞出一部比較科學的《大明曆》呈獻給孝武帝，請求頒用。不想那個戴法興從中作梗，不但新曆法不能頒行，到大明八年，就連他當刺史助理的官職也被革去了。

祖沖之賦閒在家，心裏鬱憤難平。他深感當時的世道要幹成一件事實在難。可他想自己才36歲，難道此生就這樣一事無成？於是就想搞點與政界牽涉不大的事－研究數學。他先為古代數學名著《九章算術》作了註。《九章算術》成書於公元四、五十年間，集我國古代數學之大成，歷代有不少人曾為它作註，但都碰到一個難題：那就是圓周率(現在叫π，它是圓周和直徑之比)。很古時候，人稱"徑一周二"，即π＝3。王莽新朝時精確到3.1547，東漢時張衡又精確到3.1466，三國時劉徽為《九章算術》作註，則認為最精確的應是3.14。四百多年來眾說不一。

祖沖之一接觸到圓周率問題，便被困擾得坐臥不安。他的住所裏，雪白的粉牆上，畫了一個大大的圓圈，地上也是大圈套著小圈，桌上到處是紛亂的稿紙。他背著手在房間裏踱來踱去，一會兒好像自己走進了牆上那個大圓圈中，一會又好像桌上那一堆圓圈一齊湧進自己的腦子裏，如亂麻一團。唉，這周徑之比是如何得出的呢？他又回到桌前抽出劉徽註的那本《九章算術》坐下來邊讀邊想。

這時屋裏還有一個十三、四歲的男孩，他是祖沖之的兒子，叫祖日桓(geng)。別看他小小年紀，卻天資聰穎，戲耍之餘常愛在父親身邊推算那些數字和圖形。今天他看到地上這許多圓圈感到很新鮮，便單腿在地上跳起圈來。突然聽到父親拍案喊道："有了！"將他嚇了一跳，忙跑過去垃看父親的衣袖問道："甚麼有了？"辦法有了。日桓兒，你看劉徽這裏不是明明寫著割圓術嗎？只要將一個圓不斷地割下去，內接上正多邊形，求出多邊形的周長，不就有了圓周率了嗎？日桓兒，你會嗎？"

"我會，用爸爸教過的勾股定理一一去求就是了。"

"道理簡單，算起來可就費動了。從今天起，咱爺兒倆就來辦這件事，你可要十分仔細啊。"

說完，祖沖之到院裏搬來幾根大竹子，操起一把刀破成細條，又一一斬成短截，整整幹了兩天，地上堆起了一座竹棍的小山。現在聽起來奇怪，搞計算怎麼先幹起竹木活來？原來，當時既沒有阿拉伯數字可以筆算，也沒有算盤可以珠算。運算全靠一種叫算籌的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用來拼擺成各種數字。數字縱橫兩式，個位、百位、萬位用縱式，十位、千位用橫式。一切加、減、乘、除全靠用這些木棍在桌上擺來擺去。今天遇到這麼大的算題，平時的那些算器哪裏夠用？

再說，祖沖之將這一切準備停當之後，便在當地畫了一個直徑為一丈的大圓，將圓割成六等分，然後再依次內接一個12邊形、24邊形、48邊形……他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開方等式，一一求出多邊形的邊長和周長。你想這祖沖之何等聰明，他知圓周率是周長與直徑之比，所以就把直徑定為一丈，這樣就省掉再除一坎的程序，不斷求出多邊形的周長，也就不斷逼近圓周率了。祖日桓也在那個大圓圈裏跳進跳出地幫他拿算籌，記數字。就這樣直算得月落鳥啼，直算得鶴鳴日昇，那竹棍擺成的算式從桌上延到地下，又滿地轉著圈子，一屋上下全都是些竹碼子。這批算籌又都是些新破的竹子，還沒有來得及打磨，祖沖之用手捏著、想著、擺著，不消幾日，漸漸指頭都被磨破，那綠白相間的新竹竟染上了紅紅的血印。

正是：

公式定理雖無聲，原來卻是血凝成，

莫言數字最枯燥，多少前人拚博情。

他們父子這樣不分晝夜地割著算著。這天，他們割到第96份，真是如攀險峰，愈登愈難。當年劉徵就是到此卻步，而將得到的3.14定為最佳數據。夜靜更深，小祖日桓早已眼皮沉重，東倒西歪地想睡了。祖沖之想，這些日子也實在辛苦了這孩子，便忙打發他去睡覺。他推開窗戶，深吸了幾日這建康城裏夜深時分甜甜的空氣，看了一回星空，又轉過身來看看當地那個大圓。那內接的96邊形，與圓都快接近於重合了。按說能算到這一步已經實在不易，用這個數字再去為《九章算術》作註，也就完全可以了。他用拳頭捶了捶酸困的後腰，又摸摸纏著布條的手指，向牆邊的書架踱去，忽然背後唰啦啦一陣響聲。他猛一回頭，哎呀！原來剛才末關窗戶，一陣夜風吹起窗幔，把竹籌擺起的許多算式掃得七零八落，拋酒一地。這式子剛擺完還沒有來得及驗算，也未抄下得數。要知每算一遍就要進行十一次加減乘除和開方，多麼繁重的勞動啊！祖沖之一下撲在地上，用還滲著血的十指捧起一掬算籌，對著深邃的夜空，低聲喊道："老天啊！你也和戴法興一樣，如此欺人。"他一甩衣袖，索性將桌上的殘式全部拂去。又重新擺佈起來。就這樣不知又過了多少天，只知花開花落，月缺月圓，父子倆把地上那個大圓直割到24576份，這時的圓周率已經精確到3.14159261。祖沖之知道這樣不斷割下去，內接多邊形的周長還會增加，更接近於圓周，但這已到了小數點後第八位，再增加也不會超過0.00000001丈，所以圓周率必然是3.1415926＜π＜3.1415927。當時祖沖之就把圓周率定在"上下二限"之間。這上下限的提法確是祖沖之首創，他得出的圓周率精確值在當時世界上已遙遙領先，直到一千年後才有阿拉伯數學家阿爾．卡西的計算超過了他。所以國際上曾提議將圓周率命名為"祖率"。這都是後話。

還說當時，經過無數個日夜奮戰，圖形遍地，算籌成堆，祖沖之終於算出了新的圓周率。這天他興致極好，便帶著兒子祖日桓出了都城，到郊外一座小山上的寺院裏吃酒、訪友、散散心。他邊走邊說："日桓兒，這圓周率在天文、曆算、測地、繪圖上處處都要用到，前面的幾位數字你可要牢牢記熟。"小祖日桓手裏拿著一枝野花，揚起稚氣的圓臉，往山上一指，說："好記，好記！"山顛一寺一壺酒，(3.14159)。爸爸今日心情甚好，可以開懷暢飲了。"祖沖之不禁仰天大笑，一來這些日子的辛苦總算有了個結果，二來小日桓兒如此聰明，不怕事業後繼無人。那祖日桓後來真的成了我國歷史上有名的數學家。祖日桓的那句玩笑還真的又引出了一段故事。且待下回分解。

圆周率是指平面上圆的周长与直径之比 （ratio of the circumference of a circle to the diameter） 。用符号π表示。中国古代有圆率、圆率、周等名称。（π≈3.14）
古希腊欧几里得《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（ 约公元前2世纪）中有「径一而周三」的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值 ，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取π=（4/3）^4≒3.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米得 ，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形 开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71)) < π < (3+(1/7)) ，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或 阿基米得方法），得出精确到小数点后两位的π值。
中国数学家刘徽在注释《九章算术》时（263年）只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确 到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。南北朝时代的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后 7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
1579年法国数学家韦达给出π的第一个解析表达式
此后，无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π 值表达式纷纷出现，π值计算精度也迅速增加。1706 年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗 格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首 次用计算机（ENIAC）计算π值，一下子就算到2037位小数，突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研 究人员用克雷－2型和IBM－VF型巨型电子计算机计算出 π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1 亿位数，创下新的纪录。
除π的数值计算外，它的性质探讨也吸引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰伯特第一个证明π是无理数 。1794年法国数学家勒让德又证明了π2也是无理数。到1882年德国数学家林德曼首次证明了π是超越数，由此否定了困惑人们两千多年的「化圆为方」尺规作图问题。还有人对π的特征及与其它数字的联系进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰德证明了eπ 是超越数等等。
计算圆周率
古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的William Shanks，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数，1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。
圆周率的计算方法
古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
圆周率的计算历史
时间 纪录创造者 小数点后位数
前2000 古埃及人 1
前1200 中国 1
前500 圣经 1
前250 Archimedes 3
263 刘徽 5
480 祖冲之 7
1429 Al-Kashi 14
1593 Romanus 15
1596 Ludolph Van Ceulen 20
1609 Ludolph Van Ceulen 35
1699 Sharp 71
1706 John Machin 100
1719 De Lagny 127(112位正确)
1794 Vega 140
1824 Rutherford 208(152位正确)
1844 Strassnitzky & Dase 200
1847 Clausen 248
1853 Lehmann 261
1853 Rutherford 440
1874 William Shanks 707(527位正确)
新世界纪录
圆周率的最新计算纪录由两位日本人Daisuke Takahashi和Yasumasa Kanada所创造。他们在日本东京大学的IT中心，以Gauss-Legendre算法编写程序，利用一台每秒可执行一万亿次浮点运算的超级计算机，从日本时间1999年9月18日19:00:52起，计算了37小时21分04秒，得到了圆周率的206,158,430,208(3*236)位十进制精度，之后和他们于1999年6月27日以Borwein四次迭代式计算了46小时得到的结果相比，发现最后45位小数有差异，因此他们取小数点后206,158,430,000位的?值为本次计算结果。这一结果打破了他们于1999年4月创造的68,719,470,000位的世界纪录。