我有一條數學題睇唔明

該回答的解釋是基於會考程度的附加數學作說明，最少有微積分、三維空間坐標、弧度(radian)等的認知。由於之前問過summation of limits之類問題，也相信有學中四程度的附加數學了。在基礎認知方面在此不想花太多篇幅由頭說起，但會在某些環節說得詳細一點的。
解題目的時候回答者先假設那個非直立圓錐體是放在一個三維空間(x,y,z)坐標，以底部的圓形的圓心做原點(0,0,0)，以z軸正方向(可理解成高空方向)發展，圓心會以x軸正方向(可理解成右方向)傾斜，到頂點(也當成最高最小圓形的圓心)的坐標就是(L,0,h)。
途中圓心的軌跡(locus)可以理解為一條斜線方程x=(L/h)z，圓心坐標為(uL/h,0,u)，u是個隨高度增加不高於h的可變數(0≦u＜h)。在底部的圓形的軌跡為x^2+y^2=r^2，在底部的圓周的坐標為(r cosθ, r sinθ,0)，θ是個隨xy平面夾角增加不高於2π的可變數(0≦θ＜2π)。半徑隨u增大而收細，成(1 – u/h)r。如圓心不是隨u傾斜(即傾斜直立圓錐體)，隨u向上發展圓周的坐標為((1 – u/h)r cosθ,(1 – u/h)r sinθ,u)；如圓心是隨u傾斜，隨u向上發展圓周的坐標為([(h - u)r cosθ + uL]/h, (h-u)r sinθ/h, u)，即所謂圓錐曲面的方程。
把非直立圓錐體以z之基礎微分(或薄切)為一個個扁得不能再扁，厚度為du的圓柱體。把非直立圓錐體以夾角θ之基礎微分(或分蛋糕的細切)為一份份夾角為dθ的非直立扇形錐體。即以圓錐曲面的方程對du和dθ分別作了偏微分。
要計算曲面的面積因子，回答者用了曲面的第一基本式(first fundamental form)，那是微分幾何的範圍，恐怕高考生也未必一時三刻了解得到。但用法可看：
http://mathworld.wolfram.com/FirstFundamentalForm.html
圓錐的曲面面積則由[r(h - u)/h^2] √[h^2 + (r - Lcosθ)^2]起步，對du定積分，則圓錐的曲面面積為
　∫(0 至 2π) ∫(0 至 h) [r(h - u)/h^2] √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] du dθ
= ∫(0 至 h) [r(h - u)/h^2] du * ∫(0 至 2π) √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] dθ
= [(rh/h^2)(h-0)-(1/2)(r/h^2)(h^2 - 0^2)] * ∫(0 至 2π) √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] dθ
=(r/2) * ∫(0 至 2π) √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] dθ
= r ∫(0 至 π) √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] dθ。
(也不是不可能完成對dθ定積分，只是留在下半部份做。)
下半部份除了那定積分外，都是簡單代數，應該可以應付。
希望幫到你。

非直立圓錐體嘅曲面面積

該回答的解釋是基於會考程度的附加數學作說明，最少有微積分、三維空間坐標、弧度(radian)等的認知。由於之前問過summation of limits之類問題，也相信有學中四程度的附加數學了。在基礎認知方面在此不想花太多篇幅由頭說起，但會在某些環節說得詳細一點的。

解題目的時候回答者先假設那個非直立圓錐體是放在一個三維空間(x,y,z)坐標，以底部的圓形的圓心做原點(0,0,0)，以z軸正方向(可理解成高空方向)發展，圓心會以x軸正方向(可理解成右方向)傾斜，到頂點(也當成最高最小圓形的圓心)的坐標就是(L,0,h)。

途中圓心的軌跡(locus)可以理解為一條斜線方程x=(L/h)z，圓心坐標為(uL/h,0,u)，u是個隨高度增加不高於h的可變數(0≦u＜h)。在底部的圓形的軌跡為x^2+y^2=r^2，在底部的圓周的坐標為(r cosθ, r sinθ,0)，θ是個隨xy平面夾角增加不高於2π的可變數(0≦θ＜2π)。半徑隨u增大而收細，成(1 – u/h)r。如圓心不是隨u傾斜(即傾斜直立圓錐體)，隨u向上發展圓周的坐標為((1 – u/h)r cosθ,(1 – u/h)r sinθ,u)；如圓心是隨u傾斜，隨u向上發展圓周的坐標為([(h - u)r cosθ + uL]/h, (h-u)r sinθ/h, u)，即所謂圓錐曲面的方程。

把非直立圓錐體以z之基礎微分(或薄切)為一個個扁得不能再扁，厚度為du的圓柱體。把非直立圓錐體以夾角θ之基礎微分(或分蛋糕的細切)為一份份夾角為dθ的非直立扇形錐體。即以圓錐曲面的方程對du和dθ分別作了偏微分。

要計算曲面的面積因子，回答者用了曲面的第一基本式(first fundamental form)，那是微分幾何的範圍，恐怕高考生也未必一時三刻了解得到。但用法可看：

http://mathworld.wolfram.com/FirstFundamentalForm.html

圓錐的曲面面積則由[r(h - u)/h^2] √[h^2 + (r - Lcosθ)^2]起步，對du定積分，則圓錐的曲面面積為

　∫(0 至 2π) ∫(0 至 h) [r(h - u)/h^2] √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] du dθ

= ∫(0 至 h) [r(h - u)/h^2] du * ∫(0 至 2π) √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] dθ

= [(rh/h^2)(h-0)-(1/2)(r/h^2)(h^2 - 0^2)] * ∫(0 至 2π) √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] dθ

=(r/2) * ∫(0 至 2π) √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] dθ

= r ∫(0 至 π) √[h^2 + (r - Lcosθ)^2] dθ。

(也不是不可能完成對dθ定積分，只是留在下半部份做。)

下半部份除了那定積分外，都是簡單代數，應該可以應付。

希望幫到你。

That is how to calucate the 非直立圓錐體嘅曲面面積!