正多面體(柏拉圖立體)

＊由 歐 拉 的 多 面 體 公 式 到 只 有 五 種 正 多 面 體



證明
參考資料





多 面 體 的 各 面 是 全 等 的 正 多 邊 形，各 多 面 角 是 全 等 的 多 面 角，

這 樣 的 多 面 體 叫 做 正 多 面 體．如 果 這 樣 的 多 面 體 是 凸 的 ， 就 叫 做 凸 多 面 體．



歐 拉 的 多 面 體 公 式 : 任 何 凸 多 面 體 的 頂 數 v ， 面 數 f 的 和 比 梭 數 e 多 2，即






v + f - e = 2



由 歐 拉 的 多 面 體 公 式 可 以 推 出 正 多 面 體 只 有 五 種，即 正 四 面 體，

正 六 面 體 ( 即 正 方 體 ) ， 正 八 面 體 ， 正 十 二 面 體 和 正 二 十 面 體 ．（ 見 下 圖 )


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由 歐 拉 的 多 面 體 公 式 推 出 正 多 面 體 只 有 五 種



設 每 一 個 頂 與 其 他 m 個 頂 相 連 ，

且 每 個 面 由 n 條 邊 所 組 成

所 以 m v = f n = 2 e， (???)

代 v，f 入 歐 拉 公 式 得


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因 為 e > 0，所 以 4 > (m - 2)(n - 2) (???)

又 因 為 m > 2，n > 2 (???)

所 以 ( m, n ) 只 可 能 為

( 3 , 3 ) ，( 4 , 3 )，( 5 , 3 )，( 3 , 4 ) 或 ( 3 , 5 )

( v, f , e ) 只 可 能 為( 4 , 4 , 6 ) ，( 6 , 8 , 12 )，

( 12 , 20 , 30 )，( 8 , 6 , 12 ) 或 ( 20 , 12 , 30 )

不對題,佢係問點解!!

上面都有啦~!@@