自然數 (例如 1、2、3)、負的自然數 (例如 −1、−2、−3) 與零合起來統稱為整數。和自然數一樣,整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示為粗體 Z 或
圖片參考:
http://upload.wikimedia.org/math/0/b/1/0b100eeff3848a15dbb46291e7fe52ad.png
) ,意為 Zahlen(德語:「數」)。
通常,整數集合中還有一些子集有特定術語:
正整數
大於0的整數;
負整數
小於0的整數;
非正整數
0與負整數;
非負整數
0與正整數;
在代數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。
[編輯] 代數性質
以下列表給出任何整數 a,b 和 c 的加法和乘法的基本性質。
加法
乘法
封閉性:
a + b 是整數
a × b 是整數
結合律:
a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b) × c
交換律:
a + b = b + a
a × b = b × a
存在單位元:
a + 0 = a
a × 1 = a
存在逆元:
a + (−a) = 0
分配律:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
[編輯] 有序性質
Z 是一個全序集,沒有上界和下界。Z 的序列如下:
... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...
一個整數大於零則為正,小於零則為負。零既非正也非負。
整數的序列在代數運算下是可以比較的,表示如下:
若 a < b 且 c < d,則 a + c < b + d
若 a < b 且 0 < c,則 a × c < b × c ;若 c < 0,則 a × c > b × c.
Z 是一個循環群,即任何整數都可以通過足夠多次地加 1 或 -1 得到其本身。
[編輯] 電腦中的整數
主條目:整數 (電腦科學)
整數 (有時根據 C 程式語言其中一種基本儲存型態而簡稱 "int") 通常是程式設計語言的一種基礎資料型態。可是這種基礎資料型態只能表示有限的整數,因為實際上電腦的記憶體容量有限。
可變長度的整數 (例如 bignum) 可以儲存任意大的整數,條件是有足夠記憶體存放。其它類型的整數長度都是固定的,例如某個數目的位元,通常取 2 的某次方 (例如 4、8、16 等),或者某個固定位數 (例如 9 個位、10 個位)。
相反地,理論上的電腦 (例如圖靈機) 一般上可以有無限的容量 (但只是可數集)。