數學思考題 _

given a+b=21, (a,b∈N)
a+b=21的可能性:
1+20
2+19
3+18
4+17
5+16
6+15
7+14
8+13
9+12
10+11
11+10←重複了上面的
12+9
.....
我地知道，當兩個數相距得遇少，其積會比其他大。
所以a和b相乘後的積最大是:
=10x11
=110

2007-01-27 08:03:16 補充：
(a,b∈N) means a,b為自然數http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007012202570

如果這2個數越接近, 相乘後的積越大, 這是大家都知道的=.=

a+b=21的可能性有:
1+20=21
2+19=21
3+18=21
4+17=21
5+16=21
6+15=21
7+14=21
8+13=21
9+12=21
10+11=21
11+10=21......開始重複了=.=

由此可見, 最接近的2個數是10&11,
10*11=110, 所以a和b相乘後的積最大是110

以下的步驟需要用到大概中四程度的數學, 如果過程過於複雜的話, 請參考其他回答者的答案.

我們想知道的是ab, 我們已知的是a + b = 21.

首先, 以a表示b, 可得b = 21 - a.
ab

= a(21 - a)

= 21a - a^2

= -a^2 + 21a

= -(a^2 - 21a)

= -[a^2 - 2(21/2)a + (21/2)^2 - (21/2)^2]
[因為要做到x^2 - 2xy + y^2, 再用恆等式(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2. 做法: 配方法.]

= -(a - 21/2)^2 + (21/2)^2

= -(a - 21/2)^2 + (21/2)^2

= -[(2a - 21)/2]^2 + (21/2)^2

= -[(2a - 21)^2] / 4 + 441/4

= [441 - (2a - 21)^2] / 4

由於a和b都是整數, ab都必須是整數, 因此[441 - (2a - 21)^2]必須是4的倍數.
因為我們需要ab的最大可能性, 所以就要知道a的值使[441 - (2a - 21)^2]為最大的4的倍數.
而少於441的最大的4的倍數為441 - 1 = 440, 我們可以使(2a - 21)^2等於1.

(2a - 21)^2 = 1

(2a - 21)^2 - 1 = 0

(2a - 21)^2 - 1^2 = 0

[(2a - 21) + 1][(2a - 21) - 1] = 0
[使用恆等式x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)]

(2a - 20)(2a - 22) = 0

[2(a - 10)][2(a - 11)] = 0

4(a - 10)(a - 11) = 0

(a - 10)(a - 11) = 0

a - 10 = 0 或 a - 11 = 0

a = 10 或 a = 11

a有兩個答案, 是因為當a = 10, b = 11, 當a = 11, b = 10. 這個兩組答案都能同時符合問題的要求, 就如春風小草所說的一樣.

a+b=21的可能性有:
a=1 b=20
a=2 b=19
a=3 b=18
a=4 b=17
a=5 b=16
a=6 b=15
a=7 b=14
a=8 b=13
a=9 b=12
a=10 b=11
:
:
:

從上表中,我們能看出,當=10 =11是時,他們的相乘後的積最大(110).我們亦看到了,當兩數的差越小,而他們的和不變,相乘後的積便最大.

=2X1=2 因該八 我不太確定

I t can be proved by using calculus that if the sum of a number is a constant, the product is the biggest when the two numbers are equal.
In this case,
a+b=21
Max(a.b)=10.11=110
It is the equivalent problem of a rectangle with a semi-perimeter of 21 (or perimeter=42), and we look for the greatest area of the rectangle, which is also 10.11=110.

如果a係1,b就要係20,so 1x20=20
如果a係2,b就要係19,so 2x19=38
我地得出如果2個數相差唔多,乘出黎個數會大d,所以21分成2個最接跟的數係10同11
10x11係110

=2X1=2