What is 兀 (3.14159...) (分數)?

2007-01-27 4:05 am

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圓周率

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手寫體寫的π
圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 10進位近以值為3.1415926，另外還有由祖沖之給出的疏率：
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。

[編輯] π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或
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　則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。

[編輯] 實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。

[編輯] 幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎
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之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。

[編輯] 分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：

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其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。

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