新數學問題

1+1=2
2+2=4
3+3=8
4+4=8
5+5=10
6+6=12
7+7=14
8+8=16
9+9=18

2007-01-23 15:28:40 補充：
1-2=-1 2-1=1 3-2=1 4-3=1 5-4=1 6-5=1 7-6=1 8-7=1 9-8=1

答案如下：

1+1=2

2+2=4

3+3=6

4+4=8

5+5=10

6+6=12

7+7=14

8+8=16

9=9=18

+變x,答案都一樣.

1x1=1

2x2=4

3x3=9

4x4=16

5x5=25

6x6=36

7x7=49

8x8=64

9x9=81



1-2=-1

2-1=1

3-2=1

4-3=1

5-4=1

6-5=1

7-6=1

1+1=2
以後１＋１為什麼會等於２大學會有證明單單一個證明可以讓你抄到手軟
不要小看這個公式，1+1=2登上科學界最偉大公式之一。
有不少人都可能曾經問過為何1+1=2？這個看似多餘的問題。現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 1+1=2;這句對絕大多數人來說都顛撲不破的數學述句。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：
0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}
〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕
現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如
0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}
[Λ為空集]
一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元 n* 就界定為n∪{n}。
在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。
〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕
跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。
定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。
映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。
現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下： 1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)
〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]
1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。我相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica";; ;中的那個。
我們可以這樣証明"1+1 = 2"：首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
　γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]
證明: 1+1=2
1先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件,
a.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n+,n+與n 對應.
b.元素e 必定屬於N 中.
c.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.
d.N 中的元素,a+=b+則a=b.(元素唯一)
e.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n+也屬於S.那麼S=N.
N 就是我們說的自然數集合.
其中我們規定e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此類推.
2. 再來定義加法,
加法(+)為一函數,這函數滿足兩個條件
1.(+)(n,e)=n+ 寫成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+
2.(+)(n,m+)=((+)(n,m ))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+
滿足上面條件的函數(+),我們稱為加法+.(+):=+
滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下
因為(+)(e,e)=e+
e(+)e=e+
所以1+1=2 得證.
存在：
e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然數
唯一：
n N " Î ，
+(n,e)=n+
+(n,e+)=(+(n,e))+
+(n,e+)+)=………
故(+)存在且唯一
上述證明翻成白話文如下：
自然數系依加法運算分別是：1，1+，(1+)+，……。而這些1+，（1+）+，…就用符2，3，…
表示，所以1 + 1指的是1後面那一個數字，也就是1+，自然就是2。
為什麼會有Peano 公設，及定義加法，這起源於十九世紀末，二十世紀初，Hibert，Brouwer，因物理上狹義相對論，及量子論推翻了物理舊基礎，而數學家們因此想證明，數學是有堅固基礎，是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎，於是第一個當然針對自然數系開始，希望能像歐氏幾何一樣，從基本公設，經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質，所以歸結出Peano 五個公設（其實後人把它進一步歸結成三個），而羅素與他的老師懷海德合寫<<數學原理>>三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯，這樣一來，數學家就可以宣稱「數學是真理」。不幸的是，1929年Godel 23歲時證明了一個定理：
不完全性定理：
如果有一個系統包含算術，而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾，那麼這個系統中一定存在一個命題，這一個命題的肯定或否定都無法證明。所以數學並不只是邏輯。當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義，可以從Godel的定理來看看。
簡單的方法：
1+1=2。。。(1+1)-1=2-1。。。1=1成立
1+1>2。。。(1+1)-1>2-1。。。1>1不成立
1+1<2。。。(1+1)-1<2-1。。。1<1不成立
1是0與2之間的自然數。
[編輯] 數學性質
對於任何數x：x•1 = 1•x = x
x/1 = x
x1 = x
1x = 1
x@1 = x and 1@x = 1
對任意數x，當x不為0時，x0=1 注1
作為自然數，1既不是質數也不是合數 注2
平方數
第1個高合成數
三角形數
矩形數
斐波那契數列的第2項和第3項。
weiding* 1不能作為進位制的底。
1不能做對數的底。
1的倒數是它的本身。
在階乘，0!=1!=1
在機率論中，任一樣本空間中必然發生的隨機事件之機率定義為1。
1是正數、整數、最小的正整數、奇數、實數、有理數、代數數。
在幾何學中，單位圓的半徑是1。
歐拉公式，ttp://upload.wikimedia.org/math/6/1/a/61aba3124a203663bc4710465f196d61.png，把數學上五個最重要的常數用最簡約的方式建立起關係。公式中包含1、0、自然對數的底e、圓周率π及複數的虛數單位i。
http://upload.wikimedia.org/math/a/1/0/a107d8f352e68fcd719dfdc39dd89a6d.png
注1-大多數情況下也定義，由於很多數學理論同時給出這個式子為值1，以下為其中兩個理由：
limx→0+ xx = 1
為定義
注2-1最初是被考慮為質數的：質數最初的定義為之被1和它自己整除的數。但為了因式分解理論的一致性，尤其是算術基本定理，後來質數被定義只有兩個正因子（1和自己）的自然數。最後一個把一包括在質數里的數學家是亨利•勒貝格。
[編輯] 在科學中
在計算機科學中，1經常用於表現布林值的「真」值。
在幾何光學中，真空的折射率是1。
在天文學中，太陽與地球間之平均距離為1個天文單位。
在化學中，氫的原子序數是1。
[編輯] 在人類文化中
「一」往往是第一個部首和第一個字。
在人類文化中，「一」別賦予了萬物之始的意義：「惟初太極，道立於一，造分天地，化成萬物，凡一之屬皆從一」。
貨幣中的基本面額，如1美元、新台幣1元。
在樂理中，簡譜上的do音用1表示。

4
6
8
10
12
14
16
18
-1
1
1
1
1
1
1
1
1

1+1=2

2+2=4

3+3=6

4+4=8

5+5=10

6+6=12

7+7=14

8+8=16

9+9=18

1-2=負1

2-1=1

3-2=1

4-3=1

5-4=1

6-5=1

7-6=1

8-7=1

9-8=1


IQ;

1+1= 11 , 田 , 王

2+2= 22 , 2隻鵝

3+3= 33

4+4= 44

5+5= 55

6+6= 66

7+7= 77

8+8= 88

9+9=99

1-2= 1.2

3-2= 3.2

4-3= 4.3

5-4= 5.4

6-5= 6.5

7-6= 7.6

8-7= 8.7

9-8= 9.8

1+1=2
2+2=4
3+3=6
4+4=8
5+5=10
6+6=12
7+7=14
8+8=16
9+9=18

1-2=-1
2-1=1
3-2=1
4-3=1
5-4=1
6-5=1
7-6=1
8-7=1
9-8=1

1+1=2
2+2=4
3+3=6
4+4=8
5+5=10
6+6=12
7+7=14
8+8=16
9+9=18

1-2=-1
2-1=1
3-2=1
4-3=1
5-4=1
6-5=1
7-6=1
8-7=1
9-8=1

Don't ask some silly questions!!!

解 :
1+1=2
2+2=4
3+3=6
4+4=8
5+5=10
6+6=12
7+7=14
8+8=16
9+9=18 (一直遞進)

1-2=-1
2-1=1
3-2=1
4-3=1
5-4=1
6-5=1
7-6=1
8-7=1
9-8=1 (一直遞減)

2
4
6
8
10
12
14
16
18

1
1
1
1
1
1
1
1
1

1+1=？2
2+2=？ 4
3+3=？6
4+4=？8
5+5=？10
6+6=？12
7+7=？14
8+8=？16
9+9=？18
there are is 2 x 數,??

1+1=2
2+2=4
3+3=6
4+4=8
5+5=10
6+6=12
7+7=14
8+8=16
9+9=18