[Amaths] 一條三項式問題

展開時有兩個做法, 把(1+px+qx^2)^4寫作:

(1) [(1+px)+qx^2]^4
(2) [1+x(p+qx)]^4

題目給予第三項是0, 第四項係數是-112, 要利用到這個資料, 必須把(1+px+qx^2)^4展開至x^3 (因為按升冪序, 第一項為常數, 第二項為x項, 第三項為x^2, 第四項為x^3).

在此, 我只用(1)的方法去展開, (2)的方法可留給你當習作做.
(1+px+qx^2)^4
=[(1+px)+qx^2]^4
=(1+px)^4 + (4C1)[(1+px)^3](qx^2) + x的更高次方

註: 因下一項為(4C2)[(1+px)^2](qx^2)^2, 如果只展開這一項的話, 其x的最低次方已經是4, 而我們有的條件只到達x^3, 因此其他項的係數我們可以不用理會.

(1+px)^4 + (4C1)[(1+px)^3](qx^2) + ...
=[1+(4C1)px+(4C2)(px)^2+(4C3)(px)^3+...] + (4C1)[1+(3C1)px+...](qx^2) + ...

註: "..."的部分跟上面的解釋一樣, 因為展開後x的冪太高, 所以才捨去不作詳細計算. 至於我們怎知道要寫到哪一項呢? 這個例子中, 可以看看後面的qx^2, 憑qx^2就可以知道前面x的最高冪是多少了.

[1+(4C1)px+(4C2)(px)^2+(4C3)(px)^3+...] + (4C1)[1+(3C1)px+...](qx^2) + ...
= 1+(4C1)px+(4C2)(px)^2+(4C3)(px)^3 + (4C1)[1+(3C1)px](qx^2) + ...
= 1 + 4px + 6(p^2)(x^2) + 4(p^3)(x^3) + 4(1+3px)(qx^2) + ...
= 1 + 4px + (6p^2)(x^2) + (4p^3)(x^3) + (4q)(x^2) + (12pq)(x^3) + ...
= 1 + 4px + (6p^2 + 4q)(x^2) + (4p^3 + 12pq)(x^3) + ...

由上面可知,
x^2的係數 = 0. [因為係數是0, 那一項才會是0.]
6p^2 + 4q = 0
3p^2 + 2q = 0
q = (-3/2)p^2 ..... (1)

x^3的係數 = -112.
4p^3 + 12pq = -112
p^3 + 3pq = -28 .....(2)

把(1)代入(2),
p^3 + 3p[(-3/2)p^2] = -28
p^3 - (9/2)(p^3) = -28
-(7/2)(p^3) = -28
p^3 = 8
p = 2

把p = 2代入(1),
q = (-3/2)(2^2) = -6

按x的升冪序，(1+px+qx²)^4展開式中第三項是0，第四項係數是-112
求p和q的值。
(1+px+qx²)^4
=(1+x(p+qx))^4
=1+4x(p+qx)+6x^2(p+qx)^2+4x^3(p+qx)^3+...
=1+4px+4qx^2+6x^2(p^2+2pqx+q^2x^2)+4p^3x^3+....
=1+4px+4qx^2+6p^2x^2+12pqx^3+4p^3x^3+....
=1+4px+(4q+6p^2)x^2+(12pq+4p^3)x^3
So
4q+6p^2=0...(1)
12pq+4p^3=-112
3pq+p^3=-28...(2)
from (1)
q=(-3/2)p^2
3p(-3/2)p^2+p^3=-28
-3.5p^3=-28
p=2
q=(-3/2)p^2=(-3/2)2^2=-6

2007-01-22 19:27:45 補充：
只有多做先可以熟能生巧﹐你可以參考我之前做過的另一些題目http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007011302010http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007011301705http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007011301440