～～似是簡單的問題～～

首先 0 + 2310 = 2310, 0 x 2310 = 0 是能被2310 整除的，所以0應該不理。

設 x + y = 2310, x 同 y 都要大於0 (*)

由於 xy 能被 2310 整除，我們設n為整數，寫
xy = 2310n
利用(*) 我們可以寫
x(2310 - x) = 2310n
2310x - x^2 = 2310n
x - x^2/2310 = n


由於 x 和 n 都是整數,x^2/2310 都一定是整數，就設為q 好了

q = x^2/2310 (+)
2310 q = x^2

利用2310的質因數連乘式
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x q = x^2

到了這一步其實很明顯了。可以這樣想，由於x^2能整除2, x也能整除2, x^2 就能整除4了, 即q一定能整除2. 如是者,3,5,7,11 都一樣。q 只可以是2 x 3 x 5 x 7 x 11 x r^2 換句話說, q >= 2310. 利用(+), 我們知道x^2/2310 >= 2310, x^2>=(2310)^2 x >= 2310, 但是如果這樣的話, 利用(*), 2310 - y >= 2310 y <= 0了，這就明顯不符合題目規定了。利用反證法的原理，我們就總結題目要求的證明了。

這裏我們可以來一個引申，只是一個數 N 它的質因數連乘式裏的質因子沒有重覆，就可以說：

兩個正整數的和是 N，它們的積定不能被 N 整除。

很好的一條題目，謝謝。

我們再分析其它回答：

－ＬＩＭＬＩＭ的回答是不對的，它只是證明了其中一個寫法不可行，從他的論證當中無法得知沒有其它可行的寫法。
－taolo的想法應該跟我一樣。
－yhgrhqphhyg我睇唔明
－漢鍾離企圖想找出一個方法如何去判別「兩個正整數的和是 N，它們的積能不能被 2310 整除」，他還想去數一數有多少種寫法。老實說，我很欣賞他的想法。但真要去數有多少個可行的寫法真不容易，因為：

n x q = x^2
任意一個正整數n可以寫成
p_1^a p_2^b ... p_r^r x q = x^2
q只要選少於n而又可以令總的質因數的所有質因數的指數都是雙數就可以，換句話說q可以有其它不同的質因子。

例: N = 45 = 3 X 3 X 5
3 x 3 x 5 x q = x^2
我們可以選q = 20 = 2 x 2 x 5 （留意 2 不在N的質因子之列)
x = 30, y = 15, xy = 450 可整除45 。
這可就難數了。

2007-01-24 15:19:18 補充：
我錯了，其實不怎麼難數的。因為當p_1^a p_2^b ... p_r^r x q = x^2時, q 只需將每一個質因子的指數弄成雙數（原本是雙數就不用理，是單數的話就多乘一個）這個是最少可行的q，再數有多少個q可以符合q的上限就可以。留意每個可行的q都是最少的q乘一個平方數。所以設q_0為最少的q, 可行的q就有floor(sqrt(x^2/q_0/n))個了。解釋得比較簡單，而且這裏的數學符號也很容易被吃掉，沒辦法了。看不明白的話請給我email，謝謝。

2310除以2 分別加10 同減10
得出 1055 和 1255

1055*1255 得出積 1324025

1324025 除以 2310 等於 573,17099567....

不等被2310 整除

希望解答到你ga問題啦

兩個正數的積 如 可被該兩個正數的和 整除, 祇要符合一個條件便可以:
此兩個數的和(無論是幾多位數), 它的質因式, 要至少包含1個平方或多次方

舉列:
2,310 =2 x 3 x 5 x 7 x 11 *** 不可以
2,311 =質數 *** 不可以
2,312 =2^3 x 17^2 *** 可以(有 17 個組合)
2,313 =3^2 x 257 ***可以(有 1 個組合, 771 & 1542)
2,316 =2^2 x 3 x 193 *** 可以(有 1 個組合, 1158 & 1158)
2,300 =2^2 x 5^2 x 23 *** 可以(有 4 個組合)
2,304 =2^8 x 3^2 *** 可以(有 24 個組合)
2,320 =2^4 x 5 x 29 *** 可以(有 2 個組合, 580 & 1740 ; 1160 & 1160)
原因, 我心裡明白, 但礙於我學歷所限, 無法在此將數理分析及証明, 希望其他能者能補充

當第1個數係x ,第2個則係y
x+y=2310
x =2310-y
0 =2310-x-y
咁就出左條公式
x*y/2310唔除唔盡

let one of the no. is n, so another is (2310-n),1<=n<=2309
它們的積=n(2310-n)
=2310n-n^2
2310n能被 2310 整除
so if 2310n-n^2能被 2310 整除, n^2能被 2310 整除
長除法--->2310=2*3*5*7*11
如n^2能被 2310 整除,n^2最少值=2310^2=(2*3*5*7*11)^2
n最少值為2310

2007-01-21 22:57:48 補充：
n最少值為2310不合乎1<=n<=2309此題最重要係2310不能被任何大於1的正整數的2次方整除如2310改為1540=2*2*5*7*11,n^2最少值=(2*5*7*11)^2n最少值為770 so 當n=770 或 1540-n=770(此例n同1540-n都是770), 770*(1540-770)能被 1540 整除

小弟用左一個方法
2310除以2 分別加10 同減10
得出 1055 和 1255

1055*1255 得出積 1324025

1324025 除以 2310 等於 573,17099567....

不等被2310 整除

希望解答到你ga問題啦^^"