數學歸納法(3) (急) (10分)

[匿名]

2007-01-21 5:08 am

請加以解釋

設p是一個自然數，利用數學歸納法，證明對於所有自然數n，
1*2*3...p+2*3*4...(p+1)+...+n(n+1)...(n+p-1) = [n(n+1)(n+2)...(n+p)]/(p+1)

回答 (1)

琴生

2007-01-21 5:21 am

✔ 最佳答案

當n = 1,

左面 = 1*2*3*...*p
右面 = 1(1+1)(1+2)...(1+p)/(p+1) = 1*2*3*...*p

假設n = k成立.

當n = k+1,
左面 = 1*2*3*...*p + 2*3*4*...*(p+1) + ... + k(k+1)...(k+p-1) + (k+1)(k+2)...(k+p)
= [k(k+1)(k+2)...(k+p)]/(p+1) + (k+1)(k+2)...(k+p)
= (k+1)(k+2)...(k+p) [k/(p+1) + 1]
= (k+1)(k+2)...(k+p) [(k+1+p)/(p+1)]
= (k+1)(k+2)...(k+p)(k+1+p)/(p+1)
= 右面

2007-01-20 21:22:47 補充：
其實這條問題並不難, 只是因為當中有一個p, 不是常見的題目, 才會令人產生恐懼感.

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