甚麼是哥德巴赫猜想？

德國數學家哥德巴赫（Goldbach，1690-1764）在1742年寫給尤拉(Euler，1707-1783）的信中曾提出猜想：任何大於5的奇數都可以表示成三個質數的和。

數學家尤拉從哥德巴赫猜想，也延伸出另一猜想：任何大於2的偶數，都可以表示成兩個質數的和。

但是尤拉並沒有證明它們完全正確。而「哥德巴赫猜想」（Goldbach Conjecture）發表至今已超過二百年了，直到今天仍然沒有人能提供證明，曾經有人驗算直到三億三千萬，這猜想仍然是正確的。

哥德巴赫猜想 (應用)
請你任意挑選兩個自然數；其中每一個都要求是另外兩個自然數的平方之和，然後杷它們相乘起來。

在此，我們就選擇兩個數，４１　１５０

因為：４１＝２５＋１６＝５２＋４２

２５０＝８１＋１６９

然後再把這兩侗數和乘，得出了乘積10250。ㄟ？10250這個數，好像也看不出來它有什麼特色，看上去，它與千千英萬的自然數一樣“平凡”啊！不過，１０２５０＝１０２０１＋４９＝１０１２＋７２（某人面帶神秘而詭譎的斂笑，輕輕地但卻非常莊重地說）它仍然保持著其“生身之母”的特性––依然是兩個自然數的平方和。””這項‘不變性質，雖然比較簡單，卻也算是初等數論上的一條普通定理ㄡ。”前幾年徐遲所寫的《哥德巳赫猜想》一文，可以說是家喻戶曉了。數論中的定理，有許多深含哲理。我們上面所碰到的，就是其中之一。不過，這條定理容易證明，一般只有中學文化程度的人就能了解。（天哪─藐視我們）這要用上一點複數的知識。眾所週知，ａ２＋ｂ２這個式子在實數範圍內是無法再分解因式了，然而在複數範圍內，它卻能進一步地分解為：ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂｉ）（ａ─ｂｉ）

現在我們就用它來證明上述數論定理：如果兩個自然數的每一個都是兩個自然數的平方和，則它們的乘積仍然是兩個正整數的平方和。由

（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）＝（ａ＋ｂｉ）（ａ─ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）（ｃ─ｄｉ）

只要把因式重新分組，就得到：

（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）（ａ─ｂｉ）（ｃ─ｄｉ）

＝〔（ａｃ─ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ〕〔（ａｃ─ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ〕

＝（ａｃ─ｂｄ）２＋（ａｄ＋ｂｃ）２

“由於ｉ是虛數的單位，是─1的平方根。所以，從它被引進數學以後，在很長一段時間內，一直被看作是神秘、虛幻而不實在的數。隨著科學技術的發展，虛數的這種神秘性彼徹底消除了。“虛數不虛”已成為科學上的定論。今天它已成為高速火箭、流體力學、彈性力學、電機工程以尺電子學所不可缺少的工具。
维基百科簡單說明：

哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)是世界近代三大數學難題之一。

公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，提出了以下的猜想:

任何一個不小於6的偶數，都可以表示成兩個奇素數之和。
任何一個不小於9的奇數，都可以表示成三個奇質數之和。
這就是所謂的哥德巴赫猜想。

1966年，陳景潤證明瞭“1 + 2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和”。

哥德巴赫猜想

另一個介紹：
翀仔的數裡天地
http://hk.geocities.com/mathsworld2001/mathematicians/goldbach.htm
提出猜想

哥德巴赫(1690-1764)是個德國數學家，他曾是俄國莫斯科學院的秘書。他和他的好友，當時的大數學家歐拉常常通信討論他們研究所發現的東西。1742年6月7日哥德巴赫由莫斯科寫了一封德文信給歐拉，提出了一個猜想：任何一個大於3的數都可以表示成多個素數的和。

歐拉在六月三十從柏林回信給哥德巴赫指出了：「任何數如能表示成二個素數的和，同時也可以表示成許多素數的和，這可以由你以前告訴我一個觀察結果：任何偶數是二個素數的和來證明出來。因為如果提出的數是偶 數，則它是二個素數的和，而因為n-2也是二個素數的和 ，因此n是三個素數的和，因而是四個素數的和，依此類推下去。然而如果n是奇數，則它明顯是三個素數的和，因為n-1是二個素數的和，因此也可以分解成許多素數的和。然而所有的偶數是二個素數的和，我認為這是一個肯定的定理，儘管我還不能證明出來。」

事實上，哥德巴赫在以前提到了這個猜想：

任何大於2的偶數是二個素數的和。

這就是著名的哥德巴赫猜想。


始受重視

1770年，英國數學家華林在他的《代數沈思錄》中提出了著名的華林，也發表了哥德巴赫猜想。他同時加上一個命題：

任何大於5的奇數是三個奇素數的和。

這個命題可以由哥德巴赫猜想推論出來。因為如果N是奇數，我們取一個小N的奇素數P1，則N-P1是偶數，由1.知道它是可以表示成P2+P3，因此N=P1+P2+P3。



無從下手

哥德巴赫猜想在200多年來吸引了很多的數學家的注意，甚至被稱為「皇冠上的明珠」。很多人不懈地研究，尋求解答，但都不能成功。證明這個猜想是非常困難的，因為素數是用乘法定義的，而哥德巴赫猜想涉及到的是加法。一般來說，在自然數的乘法性質和加法性質之間建立聯系是非常困難的。



研究成果

1在20年代，有人採取把偶數表為兩數之和，而每一個數又是若干個素數之積的辦法，來考慮哥德巴赫猜想。這就是通常所說的，如果每一個偶數能表為一個不超過a個質因數的數和一個不超過b個質因數的和，那麼(a+b)成立。哥德巴赫猜想就是要證明(1+1)成立。


1920年，布朗利用自己創造的「布朗篩法」，證明了(9+9)。

1924年，德國數學家拉德馬哈爾證明了(7+7)。

1932年，英國數學家愛斯特曼證明了(6+6)。

1938年，蘇聯數學家布赫斯證明了(5+5)，於1940年，他又證明了(4+4)。

1941年，蘇聯數學家林尼克發明了「大篩法」，證明了每一個充分大的數可以用兩個素數和2的數次幕來表示。後來瑞尼採用了林尼克的方法，提出了(1+c)，c是某一個大數目。


1948年，匈牙利數學家蘭恩易證明了(1+6)。

1956年，著名數論家維諾格拉托夫又證明了(3+3)。

1957年，中國數學家王元證明了(2+3)。

1962年，中國數學家潘承洞證明了(1+5)。同年，他又與王元一起證明了(1+4)。王元還在承認廣義黎曼假設的前提下證明了(1+3)。

1973年，中國數學家陳景潤利用自己發現的「陳氏定理」，證明了(1+2)，這是目前最好的結果。

儘管陳景潤已接近證明了哥德巴赫猜想，但哥德巴赫猜想仍未得到徹底的解決。這顆「皇冠上的明珠」還在等待其他數學家去摘取。

真正的哥德巴赫猜想是：
「任何不小於4的整數都可以表示成兩個或兩個以上的質數之和」
或是：
「任何一個大於2的偶數，都可以表示成兩個質數之和」

而現時數學家則以"a + b" ，即是「任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，其中一個是a 個奇質數的乘積，而另一個則是b 個奇質數的乘積」，希望以此慢慢證明出這猜想。

因此，"1+2" 是指「任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，其中一個是奇質數，而另一個則是兩個奇質數的乘積」
現時，只差一步就能證明"1+1"，即是「任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個奇質數之和」這即是哥德巴赫猜想。