九章算術...

成書於公元前一世紀的《九章算術》是我國最重要的數學經典，它集先秦到西漢數學知識之大成，集中體現了當時中國數學領域的最高發展水平。全書以計算為中心，基本上採取算法統率應用問題的形式。它的許多成就居世界領先地位，對中國後世的數學發展和數學教育產生了深遠的影響，奠定了此後中國數學居世界前列千餘年的基礎。《九章算術》成書後，注家峰起，並有諸多創造。魏晉時期數學泰斗劉徽的《九章算術》注貢獻最大，影響深遠。《九章》及其歷代注釋者在數學教育領域，內有許多值得我們學習的重要內容和見解。一般地說，《九章》並非當時的一本數學啟蒙教育著作，其內容遠遠超過了今天小學六年的教學要求，但隨著社會的長足進步和數學科學的迅速發展，前期的高深內容，到後期也許會成為大眾化的基本內容。《九章》中的一些算術內容，對照今天小學數學的教學大綱，就已經成為小學高年級教學的重要內容。《九章》中所體現一些數學思想和方法對小學生也具有重要啟迪和借鑒作用。現對此進行歸納，以便於教師在教學中認識和理解：

1.十進位置值制記數法

我國是世界上最早產生並確立完善的十進位置值記數法的國家。早在四五千年前就有了數目字，商朝已掌握了3萬以內十進數目，以位置制記錄，這種記數法比古巴比倫的60進制、瑪雅人的20 進制、羅馬人的5 - 10進制以及古埃及和希臘的十進非位置制優越得多。中國的十進位置制記數法被馬克思譽為人類文明進程中 "最美妙的發明之一"。劉徽在此基礎上創造了十進小數，外國直到14、15 世紀才出現十進小數，小數點直至17世紀才開始使用。

2.計算工具的發明

算籌是中國古代數學的一種獨特的計算工具，"算術" 的意義即是運用算籌的技術，這恰當概括了中國古代數學使用算器、以算為主的特點。《九章》是以算籌為算具的數學教科書，算籌作為當時世界最靈巧的計算工具，使用起來既方便又準確，成為在中國歷史上延續了1500年以上的科學傳統。元朝以後發展的珠算是籌算制的發展、改革和繼續。教師應認識籌算和珠算在世界數學發展史中的地位和作用，並具體在教學中發揮其獨特的教育功能。中國的籌算在沒有形成完備的口訣之前，主要是操作和擺數，籌算的這一特點，決定了其傳授過程中最簡便、最直接的方法就是 "做中學"，這特別適合於兒童以演示、操作指導為主的教學方法，符合兒童動作思維的心理特點，加之中國的數學歌訣有著悠久的歷史，利於兼用 "唱"、 "游" 式的教學方法。數學歌訣的流行和不斷發展，對算法和算具的不斷改進，不僅推動了小學數學教育的發展，而且也直接影響著珠算的產生和發展。作為中國文化寶庫中 "貨真價實" 的珍品 -- 珠算和算盤，既是一種優越的計算工具，又是一種好的教具和學具，相比於外國用計算板、計算塊及小棒認識數和計算數，能夠更好地起到從具體到抽象的中介作用，有助於學生形成數位須序及數位大小等清晰的表象，從而提高學生認識數的能力。正因為珠算的特殊價值和作用，在電子技術高度發達的現代商業圈中。在我國、日本及其他東南亞國家、珠算仍盛行不衰。此外，西方世界教育人士認為珠算在數學教育中有其不能偏廢的特殊意義。

3.分數四則運算及其應用

《九章》中的分數知識 (包括約分、通分和加減乘除法則) 已是當時世界上最系統、最完備的分數理論。在方田章中已有明確的分數運算法則，其他各章還有很多分數應用題。

a)分數加減法

分數加法稱為合分；分數減法稱為減分。其法則為：以分數分子、分母交叉相乘，乘積相加減後的結果作為 " 實"，以分母相乘作為 "法"，"實如法而一"，用今天的符號表示就是 。 如方田章第8題 。這裡用到了通分，但沒有用到最小公分母，而是相加減後再約分，顯得比較繁瑣。少廣章則進了一步，其程序可以求出較小的公倍數，有的甚至就是最小公倍數。

b)分數乘除法

分數乘法稱為乘分，其法則是：以分母的乘積為分母，以分子的乘積為分子，同今天方法一樣： 。分數除法稱為經分，其法則是把實和法通分，然後讓分子相除： ；後來劉徽又補充了一個更為簡便的法則：將法的分母、分子顛倒，與實相乘： ，這就是今天小學數學教材中的顛倒相乘。

c)分數約分法則

先進行觀察，若分子、分母都是偶數，則先除以2，否則將分子、分母 "以少減多，更相減損"，最後得到 " 等數"，此為原分子、分母的最大公約數。用等數約之，即把數化簡了。這種求等數的方法與歐幾里得求最大公約數的方法是一致的，現代算術教科書中的輾轉相除法即由此而來。應該指出，古人的計算方式是籌算而不是上述的現代筆算，例如，方田章第6問約簡 ，先用籌算求得 "等數" 7，以7除分子、分母，得最簡分數

以上是世界上最早的分數運算法則。大約15世紀歐洲才通行分數算法，印度到七世紀才有與中國相同的分數四則運算法則。了解我國古代的分數理論及其成就，教師可以從中吸取營養，來豐富自己的教學是很有益的，特別是分數乘法和除法法則的理由對今天小學教學仍有重要的指導意義。歷史上的分數概念及其運算的產生都先於小數，中外一理。而在教學順序上則小數先於分數，這是由於小數運算接近整數，較分數方便。安排教學程序則以可接受性優先，教師應心中有數。

4.各種比例算法

《九章》粟米中的今有術，是完整的比例算法：已知所有數、所有率和所求率，則 所求數 = 所有數×所求率÷所有率這個方法傳到印度和西方，叫做 "三率法" (rule of three)。在《九章》中，今有術所屬例題都是粟米互換問題。比如，己知粟率50，糠米率30，"今有粟一斗，欲為糠米，問得幾何？" 這裡1斗是所有數， 50和30分別是所有率和所求率，按今有術，得糠米：10升×30÷50 = 6升。這個問題就是現在小學課本中的比例問題，按現在的解法是： 設所求的米為x升，

則有比例式 50：10 = 30：x
所以x =
即x = 6

此外，《九章》中還有一些複雜的比例問題，如複比例問題、連鎖比例問題等等，但現在的小學數學課本中均已不再出現。對於各種比例問題，劉徽注以率為綱，結合齊同原理系統闡述，這些概念如果適當滲透到有關教材中去，將有利於教學。例如，劉徽提出 " 凡數相與者謂之率"，"相與" 即 "相關" 之意，成率關系的數量同時擴大或縮小同樣的倍數，其率關系不變。若有甲、乙、丙三物之關系：甲：乙 = a：b1; ，乙：丙 = b2 ：c，已知甲為A，問丙幾何？《九章》兩次應用今有術甲A化為乙B = ，乙B化為丙C = 叫重今有術。劉徽認為可先把兩個率關系中乙率變成相同的值b1b2，為保持率關系不變，則甲的率須變成ab2，丙的率須變為cb1，稱為與乙相齊，即甲：乙：丙 = ab2 : b1b2 : cb1，對甲、丙直接應用今有術：C = 。劉徽將此變換稱為齊同原理。它源於分數通分， 與 通分必須使分母相同：bd，然後使分子與分母相齊，即分別變為ad、 bc，兩分數變為 ， 。這叫 "齊其子，同其母"。

5.幾何初步知識

a)長方形面積概念：在《九章》方田章及其劉徽注中講得很生動。"方田術曰，廣從步數相乘得積步"。"方田" 即長方的田，"廣" 指長方形的底，"從" (即縱) 指長形的高，"步" 是長度的單位，所以長方形的面積等於底乘高。教師可以參照現行教材，古今對比，借以進一步領會其所以然。

b)三角形面積計算："圭田術曰，半廣以乘正從"。三角形的田，古稱 "圭田"，"正從" 是指垂直於底的那個高，所以三角形的面積等於底乘高的一半。

c)梯形面積的計算：梯形的田稱 "箕田"，同樣給出其面積等於上、下底相加與高相乘的一半。

《九章》及其劉注中關於三角形、梯形面積公式借助於傳統的出入相補原理作出的。所謂出入相補，劉徽稱之為以盈補虛，按現代的說法，即：一個平面圖形移動前後，面積不變；一個平面圖形割成若干塊，各塊面積之和等於原圖形面積 (立體也同樣)。三角形和梯形面積的公式都可根據長方形面積公式，利用出入相補原理而得到如

三角形面積 = ×底×高
梯形面積 = ×(上底 +下底)×高 = 中廣×高

出入相補原理是中國古代用於處理面積、體積問題以及可以化為面積和體積問題的一種傳統方法，應用十分廣泛，方法直觀、巧妙，相當於給出証明，適應小學生的接受能力和心理特點，這對小學教學很有指導意義。

九章為算經之首，蓋猶儒者之六經，醫家之難素，兵法 之孫子歟。后事學者，有倚其門牆，瞻其步趨，或得一 二者，以能自成一家之書。

《九章算術》是中國的基本數學書，其中含有優秀的數 學方法。如與希臘數學比較，在幾何學及數論方面，稍 見遜色，但在算術及代數方面，我確信凌駕於希臘數學之上的。

《九章算術》全書共有246道題，分別納入方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股等九章。本質上，它是一本分門別類的官僚數學公式手冊，史家認為「九章算術成於長安之官府，乃以秦漢之計籍為底稿，並非課吏之講義。」應該是恰當的論斷。至於其數學知識的背景，則可追溯到周秦和西漢時代;它的編纂過程與體例的形成，一方面配合了當時社會的需要，另一方面也反映了特定學術思想的旨趣。根據史學家的研究，孔門是繼承周代城邦家臣傳統而來。其「世傳六藝之教:禮、樂、射、御、書、數，恐怕是結集歷史經驗的結果，也應乎當時需要。習禮樂以為相，練射御以治軍，操書數便去當家臣。」因此，從封建時代的家臣到秦漢大一統以後的官吏，學習數學不過是他們干祿的途徑之一吧!《顏氏家訓》說得好:「算術亦見六藝要事，自古儒士論天道、定律曆者皆通學之，然可以兼明，不可以專業。」

　儘管士人難得將數學視為安身立命之道，但《九章算術》畢竟是周秦西漢數學知識的總結，自有其可觀的成績。大致說來。在初等數學的範疇內，它所給出的方法都具備了現代意義，這也就是說，只須換個形式，它的內容就可立刻納入現代數學的一部份了。在算術方面，《九章算術》已經確立分數四則運算，並指出約分、通分法則。此外，它也處理了各式各樣的比例問題，並且正確地指出一次代數方程的算術解法一一「盈不足術」。在幾何方面，《九章算術》列出很多與土地丈量有關的面積公式，以及和土木建築有關的體積公式，除極少數給出不太精密的近似值外，其餘完全正確。另外，也包括了利用勾股定理解決的應用問題(包括測量問題)。至於在代數方面，《九章算術》已有明確的「開平方法」及「開立方法」，並有由「開平方法」所自然延拓的「開帶從平方」(相當於二次方程的數值解法)，以及多元一次方程組解法(「方程術」)和正負數加減法則(「正負術 」)。

　由上簡述可知，在《九章算術》的成書過程中，從實用問題解法深入分析、具體總結的傾向是很濃厚的，不過，這並不太能突出它的發生、發展背景，如眾所周知，古埃及、巴比倫的數學成就地無非如此形成的。要想知道中國古代學者如何通過《九章算術》知識去實踐他們的數學主張:也就是說，他們首先提出了什麼問題?為何提出的?按著他們又是為何解決的?以及最終他們為何看待自己的數學成就?那就不能把數學侷限在本身來看了，臂如，如果切斷了歐幾里得 (Euclid)與柏拉圖(Plato)、亞里斯多德的思想聯繫，那麼「幾何原本」就真地成為少數數學家的禁臠了，因此，在一定的學術思想背景中，深入探索《九章算術》知識的形成，不但可以幫助我們確認數學在人類文明進展中所扮演的重要角色，同時也可以提示我們:大約兩千多年前的中國人是為何從事數學思考的?

2007-01-17 21:54:05 補充：
第一章，「方田」： 平面圖形面積的量法及算法，如矩形、三角形、圓、弧形、環形等的田地的求積公式，及分數算法，包括加減乘除法、約分﹝將分母，分子用輾轉相除法求出它的最大公約數再作約分﹞、分數大小的比較及求幾個分數的算術平均數等。第二章，「粟米」： 各種糧食交換之間的計算，討論比例算法。 第三章，「衰分」： 比例分配問題。

2007-01-17 21:54:20 補充：
第四章，「少廣」： 多位數開平方，開立方的法則。 第五章，「商功」： 立體形體積的計算。 第六章，「均輸」： 處理行程和合理解決徵稅的問題，尤其是與人民從本地運送穀物到京城交稅所需的時間有關的問題，還有一些與按人口徵稅有關的問題，其中還夾雜著衰分、比例及各種雜題。

2007-01-17 21:54:28 補充：
第七章，「盈不足」： 算術中的盈虧問題的算法，實際上就是現在的線性插值法，它還有許多名稱，如試位法、夾叉求零點、雙假設法等。第八章，「方程」： 有關一次方程組的內容，最後還有不定方程。將方程組的系數和常數項用算籌擺成「方程」，這是《九章算術》中解多一次方程組的方法，而整個消元過程則相當於代數中的線性變換。在方程章裏提出了正負數的不同表示法和正負數的加減法則。第九章，「勾股」： 專門討論用勾股定理解決應用問題的方法。