((a+b)/2)^(a+b)≧(a^b)(b^a)

由於不等式中a,b是對稱的，不失一般性，設a不少於b
((a+b)/2)^(a+b)
≧(sqrt(ab))^(a+b) (A.M.-G.M. inequality)
=(ab)^((a+b)/2)

[(ab)^((a+b)/2)]/[(a^b)(b^a)]
=[a^((a-b)/2)][b^((b-a)/2)]
=(a/b)^((a-b)/2)
≧1

所以[(ab)^((a+b)/2)]/[(a^b)(b^a)]≧1，從而(ab)^((a+b)/2)≧(a^b)(b^a)
最後有((a+b)/2)^(a+b)≧(ab)^((a+b)/2)≧(a^b)(b^a)

Without loss of generality, we may let b >=a, then
(b-a)log (b/a) ≧0
(b-a)log b -(b-a)log a ≧0
blog b +alog a -alog b -blog a ≧0
blog b + alog a ≧ alog b + blog a
log(a^a)(b^b) ≧ log(a^b)(b^a)
(a^a)(b^b)≧(a^b)(b^a)

2007-01-17 00:47:00 補充：
SORRY 解錯題。謝謝 ychjae。(a^a)(b^b)≧(a^b)(b^a)(a^a)(b^b)(a^b)(b^a)≧(a^b)(b^a)(a^b)(b^a){ a^(a+b) }{ b^(a+b) }≧ { (a^b)(b^a) }^2(ab)^(a+b) ≧ { (a^b)(b^a) }^2((a+b)/2 )^(a+b) ≧(ab)^(a+b) ≧ { (a^b)(b^a) }^2 .......(since AM ≧ GM)

2007-01-17 00:49:26 補充：
Now, we have((a b)/2 )^(a b) ≧ { (a^b)(b^a) }^2and hence((a b)/2)^(a b)≧(a^b)(b^a)