maths問題

數學(Mathematics)是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。[1]
基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。[2]
今日，數學被使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家亦研究沒有倀何實際應用價值的純數學，即使其應用常會在之後被發現。[3]
創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。





目錄[隐藏]

1 詞源
2 歷史
3 形成、純數與應數及美學
4 符號、語言與嚴謹
5 數學做為科學的一門
6 數學的各領域

6.1 數量
6.2 結構
6.3 空間
6.4 變化
6.5 基礎與哲學
6.6 離散數學
6.7 應用數學
7 數學不是……
8 另見
9 註記
10 參考書目
11 參考網址



[編輯] 詞源
數學(mathematics, 希臘語：μαθηματικά)這一詞在西方源自於古希臘語的μάθημα (máthēma)，其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹意且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικός (mathēmatikós)，意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的複數形式，及在法語中的表面複數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性複數mathematica，由西塞羅譯自希臘文複數τα μαθηματικά (ta mathēmatiká)，此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。[4][5]



[編輯] 歷史


主條目：數學史


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奇普，印加帝國時所使用的計數工具。
數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικός (mathematikós)意思是「學問的基礎」，源於μάθημα (máthema)（「科學，知識，學問」）。
數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解瞭如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)
也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。
更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。
從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關係，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。
到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關係和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。
數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。」[6]

[編輯] 形成、純數與應數及美學


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牛頓(1643-1727)，微積分的發明者之一。


主條目：數學之美
數學出現於包含著數量、結構、空間及變化等困難問題內。一開始，出現於貿易、土地測量及之後的天文學；今日，所有的科學都存在著值得數學家研究的問題，且數學本身亦存在了許多的問題。牛頓和萊布尼茲是微積分的發明者，費曼發明了費曼路徑積分，來用於推理及物理的洞察，而今日的弦理論亦生成為新的數學。一些數學只和生成它的領域有關，且應用於此領域的更多問題解答。但一般被一領域生成的數學亦可以在其他許多領域內被有用的使用，且成為數學概念的一般知識。即使是「最純的」數學通常亦可以被用於實際的用途上的此一卓越的事實，被維格納稱為「數學在自然科學中不可想像的有效性」。
如同大多數的研究領域，科學知識的爆發導致了數學的專業化。一主要的分歧為純數學和應用數學。在應用數學內，又被分成兩大領域，並且變成了它們自身的學科－統計學和電腦科學。
許多數學家談論數學的優美，其內在的美學及美。簡單和一般化即為美的一種。另外亦包括巧妙的證明，如歐幾里德對存在無限多質數的證明，及加快計算的數值方法，如快速傅利葉變換。高德菲·哈羅德·哈代在一個數學家的自白這章文章中表示其所相信的美學思維足夠使其進行純數學的研究。

[編輯] 符號、語言與嚴謹


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在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出複雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產生的。


主條目：數學符號
我們現今所使用的大部份數學符號都是到了16世紀後才被發明出來了。[7]在此之前，數學被以文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。
數學語言亦對初學者而言感到困難。如或和只這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者的，如開放和域等字在數學裡有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。[8]在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。
公理在傳統的思想中是「不證自明的真理」，但這種想法是有問題的。在形式上，公理只是一串符號，其只對可以由公理系統導出的公式之內容有意義。希爾伯特計劃即是想將所有的數學放在堅固的公理基礎上，但依據哥德爾不完備定理，每一不相矛盾的公理系統必含有一不可決定的公式；因而所有數學的最終公理化是不可能的。然而數學常常被想像成只是一些公理化的集合論，在此意義下，所有數學敘述或證明都可以寫成集合論的公式。

i thank 亞基米德
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7006033100772&others=1

2007-01-23 17:40:49 補充：
VERY GOOD ANS.

已經有人問過類似的問題啦：
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7006033100772&others=1

為甚麼要發明數學?
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7006101406130

以我所知，發明數學的人叫做亞基米德(外文譯音)。

亞基米德大家在中學裏可能都讀過他的槓桿原理，還有他的浮體原理以及眾所皆知的裸奔（「我找到了！」）。他曾發明過許多實用工具以及軍事武器；傳說當羅馬人攻城時，他曾利用拋物鏡面聚射陽光，焚毀了不少敵人的兵船。

基本資料：
亞基米德（公元前287～212年）是希臘人，生長在西西里島，（當時整個意大利南部及西西里島都在希臘版圖內。他年青的時候，曾到亞歷山大城接受教育，返回故居後也經常與那裏的學者保持聯繫，亞歷山大城在埃及，是當時西方世界科學文教的中心；這裏我們順帶提一提它的輝煌的歷史。

原來亞歷山大大帝東征西伐，建立了一個龐大的帝國後，在公元前330年左右，曾經親自精心設計，要在埃及建造一個嶄新的城市，作為這個帝國的首都──就是我們的亞歷山大城。可惜不久，新城未完，大帝已經暴斃。國家經過一段時期的混亂後，分裂成三個帝國，其中埃及部分，由一位托勒密將軍接管。他繼承了亞歷山大大帝的遺志，大力延攬世界各地學者，來到亞歷山大城，由政府金錢支助，讓他們作自由研究。這大概是世界上最早的國科會吧。托勒密王在公元前290年建造了一所研究中心，定名為 Museum（Muse 是希臘神話中司掌文學、科學、藝術等的九位女神之一；現今博物館都叫 museum，由來即在此）。另外他還建立了一個圖書館，據說擁書七十五萬之多，一時也成為世界抄書事業的中心。（請記得當時還沒有印刷術）果然不出多少年，亞歷山大城已成為西方世界文化、商業的中心了。社會的繁榮，科技的進步，自不在話下，例如當時己有蒸汽車，計程表，有水力操作的大型樂器，有用壓縮空氣操作的大砲，廟裏還有嚇唬人的神像，利用熱空氣揮舞四肢。

以後羅馬人興起，首先征服了意大利及西西里島；亞基米德就是死在羅馬士兵手中。再以後的歷史，我們也得簡單地一提，因為它與我們下面要說的故事也很有關係。羅馬人在公元前146年征服了希臘本土。托勒密王朝的末代皇帝，就是著名的「埃及艷后」克利奧派屈拉，她死在公元前31年。早先在公元前47年時，凱撒大帝曾經放火燒光了亞歷山大城港外的埃及海軍，大火延至城內，亞歷山大圖書館藏書幾乎全被燒光。

羅馬帝國以後又分為東西兩帝國。東羅馬帝國包括了希臘、埃及、中東及現今的土耳其。其間基督徒的興起，對早期科學有非常破壞性的影響。他們排斥多神的希臘異教，因此焚書坑儒，極力摧毀希臘文化。據記載公元392年羅馬皇明令禁止異教活動的一年，埃及一所大廟裏就有三十萬希臘書籍被焚。（這些書是當時亞歷山大圖書館收藏不下才被移來的）當時凡是記載在牛皮羊皮上的希臘文書，統統要被充公，洗去上面的文字，另抄基督徒的經典。光輝的希臘文化，從此便一蹶不振沒落至今。七世紀左右，埃及被回教徒征服，亞歷山大城中尚存的一些希臘文書，又遭受了一次火禮，許多學者都逃到康士坦丁堡（東羅馬帝國的首都，即今土耳其的伊斯坦堡）。康士坦丁堡一直拖到十七世紀左右，才被土耳其人消滅。

現在我們再回過頭來談談亞基米德。亞基米德被很多人認為有史以來三大數學家之一（其他兩人是牛頓和高斯），他曾找出許多物體的面積、體積。他用的證明方法，叫做「窮盡法」(method of exhaustion)；這個方法在歐幾里得（或更早）便曾被用過，它跟現在我們積分的定義並沒有什麼差別。例如說, 圓的面積，可以由內接多邊形及外切多邊形的面積來迫近。因此積分的觀念，早在公元前便已經有了。

我們現在讀微積分，大多是從微分開始，然後再讀到積分，這顯然不是歷史的順序：微分要到十七世紀才由牛頓，萊布尼茲等人創出。為什麼微分、積分的觀念要相差幾乎兩千年之久，可能也很自然。由於實用的緣故，人們很自然的會考慮到面積體積問題；但是速度的變化率，曲線在某點的斜率等等，顯然沒有這麼迫切的需要。

我們現在求積分，通常都會覺得還很容易（除了那些考試時才碰到的問題外）。這是因為我們知道了微分的技巧以及微分及積分之間的關係─所謂 "Fundamental theorem of calculus"。換句話說，我們求積分時，幾乎從來沒有要按照積分的定義來求取答案的。希臘人可不同了。再加他們還沒有極限的具體觀念，更不能談無窮級數的和，因此每一個問題的解答，都需要相當程度的智巧。他們證明一個物體的面積是 A 時，先假設它大於 A，再用「窮盡法」中的迫近方法，在有限步驟內得到一個矛盾，同理他們又證明這個面積也不能小於 A。這個描述似乎有些含糊，讀者耍知道詳細的情形，可以參見參考資料3。這裏要請注意的是，他們必須先認定這個面積是 A，然後再證明非它不可。

後人讀到亞基米德在面積、體積方面的許多工作，常常驚異於他證明的嚴密（遠超過牛頓時代的標準），以及他的直觀先見。尤其是後者；例如他怎樣想到這些物體的面積該是什麼呢？是不是他還有其他方法，能夠事先看出這些結果來，換句話說，他是否另有秘法？

果然，亞基米德另有秘密。不過這裏所說的秘密，並不是他故意隱而不宣的秘訣，而是由於後來政治．宗教等等因素所造成的。這個秘密，直到二十世紀初才被揭開！

話說1906年，伊斯坦堡一所圖書館內，發現一套記錄在皮料上的古經，除了上面的文字外，下面還隱隱出現另一層希臘古文。顯然原來的文字被用一種油料洗刷過，再在上面重寫新的，這層油經過長久的時間，已經漸漸消失，使得原來的文字又重現出來。原文中有幾何圖形，顯然是數學著作。於是他們便請了當時權威的荷蘭語文學家海伯 (Heiberg) 前來驗認。海伯花了相當的時間，恢復了原文，並且幾乎全部釋譯了出來。這是數學歷史研究上，一個偉大的發現。

原來亞基米德畢生著作，據記載共有十餘種，其中少數由於第一節裏所說的原因，早已經失傳了。這次海伯所釋譯的，發現就是亞基米德的幾部著作；而且更令人驚喜的，是因為其中一部，叫做《方法》(The Method)，就是他久已失傳的作品！這本「方法」，是用亞基米德致友人書的形式寫成的，內容是解釋他如何利用力學的方法，得到許多物體的面積、體積。這裏所謂的力學方法，就是他自己出名的槓桿原理！亞基米德認為他的力學方法，似乎不夠「嚴密」，因此他用此法得到了這些結果後，另外又用了嚴密的「窮盡法」再作證明。其實照我們現在看來，他的力學力法，不但新奇驚人，而且也絲毫無不嚴密之處（這是我們更清晰的瞭解了積分的定義的緣故）。
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槓桿原理與球體公式
我們要證明，一個半徑為 r 的球，體積是 。

現在請看圖 1-a，其中的圓，半徑為 r，PABM 是一個邊長為 2r 的正方形。現在我們想像這個圖形繞軸 AB 旋轉一週。這時圖中的圓，繞出一個球來，三角形 AMN 則繞出一個圓錐體，而長方形 PMNQ 則繞出一個圓桶來。

我們看看任意一根與 AB 垂直的直線 XY。它與上半圓的交點是 G，與 AM 的交點是 F。設 , , 。請注意 FZ 也等於 a。當 XY 繞 AB 轉一週時，GZ,FZ,XZ 分別繞出上述三立體（球，錐，桶）的「基本圓片」來。這裏所謂「基本圓片」的意思，就是說，當 XYPQ 移動至 MN 時，這些「基本圓片」，分別依次疊合成上述三個立體。