圓周率...

圓周率 = 圓形的周長/圓形的直徑
符號π是第十六個希臘字母，到1706年才開始以它代表圓周率的。

π＝3.141592653589793238 46264338327950288419 71693993751058209749 44592307816406286208 99862803482534211706 79821480865132823066 47
09384460955058223172 53594081284811174502 48111745028410270193 85211055596446229489 54930381964428810975 66593344612847564823

在20000以上(目前)
圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比 （ratio of the circumference of a circle to the diameter） 。用符號π表示。中國古代有圓率、圜率、周等名稱。

　　古希臘歐幾里得《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，中國古算書《周髀算經》（ 約公元前2世紀）中有「徑一而周三」的記載，也認為圓周率是常數。歷史上曾採用過圓周率的多種近似值 ，早期大都是通過實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取π=（）4≒3.1604 。第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德 ，他在《圓的度量》（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形 開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到3<π<3 ，開創了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或 阿基米德方法），得出精確到小數點後兩位的π值。

　　中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時（263年）只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確 到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術。南北朝時代的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後 7位的π值（約5世紀下半葉），給出不足近似值 3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似 分數值，密率355/113和約率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發表於荷蘭工 程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數 值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力， 於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。

　　1579年法國數學家韋達給出π的第一個解析表達式 (^=開方)

兀/2=1/^2/1*1/2+1/2^*^1/2^*^1/2+1/2^+1/2^1/2....


此後，無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π 值表達式紛紛出現，π值計算精度也迅速增加。1706 年英國數學家梅欽計算π值突破100位小數大關。1873 年另一位英國數學家尚可斯將π值計算到小數點後707位，可惜他的結果從528位起是錯的。到1948年英國的弗 格森和美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。

　　電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室首 次用計算機（ENIAC）計算π值，一下子就算到2037位小數，突破了千位數。1989年美國哥倫比亞大學研 究人員用克雷－2型和IBM－VF型巨型電子計算機計算出 π值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1 億位數，創下新的紀錄。

　　除π的數值計算外，它的性質探討也吸引了眾多數學家。1761年瑞士數學家蘭伯特第一個証明π是無理數 。1794年法國數學家勒讓德又証明了π2也是無理數。到1882年德國數學家林德曼首次証明了π是 超越數，由此否定了困惑人們兩千多年的「化圓為方」尺規作圖問題。還有人對π的特徵及與其它數字的聯系 進行研究。如1929年蘇聯數學家格爾豐德証明了eπ 是超越數等等。



圓周率的發展
古代
中國周髀算經
西方聖經 周一徑三
圓周率 = 3

元前三世紀 阿基米德
(希臘) 1. 圓面積等於分別以半圓周和徑為邊長的矩形的面積

2. 圓面積與以直徑為長的正方形面積之比為 11:14

3. 圓的周長與直徑之比小於 3 1/7 ,大於3 10/71

三世紀 劉徽
(中國)
用割圓術得圓周率＝3.1416稱為 "徽率"
五世紀 祖沖之
(中國)
1. 3.1415926 < 圓周率 < 3.1415927

2. 約率 ＝ 22/7

3. 密率 ＝ 355/113

1596年 魯道爾夫
(荷蘭)
正確計萛得 p 的 35 位數字
1579年 韋達
(法國)
"韋達公式" 以級數無限項乘積表示 p
1600年 威廉.奧托蘭特
(英國)
用p/σ表示圓周率

π是希臘文圓周的第一個字母

σ是希臘文直徑的第一個字母

1655年 渥里斯
(英國) 開創利用無窮級數求 p 的先例
1706年 馬淇
(英國)
"馬淇公式" 計算出 p 的 100 位數字
1706年 瓊斯
(英國) 首先用 p 表示圓周率
1789年 喬治.威加
(英國) 準確計算p 至126 位
1841年 魯德福特
(英國)
準確計算 p 至 152 位
1847年 克勞森
(英國)
準確計算 p 至 248 位
1873年 威廉.謝克斯
(英國) 準確計算 p 至 527 位
1948年 費格森和雷恩奇
(英國, 美國) 準確計算 p 至 808 位
1949年 賴脫威遜
(美國)
用計算機將 p 計算到 2034 位
現代 用電子計算機可將 p 計算到億位

圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 近以值包括疏率：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/c/29cde9f6ad7ad117be486b19047272bd.png
。這兩項均由祖沖之給出。
π 約等於（精確到小數點後第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680

π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/c/29cde9f6ad7ad117be486b19047272bd.png
　則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。


實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
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幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/8/3/b8375b353847ac7fa7922ee6794cca6a.png
之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。


分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/1/5/f15dc3d39c473c4bd718e3a98145da0d.png

其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。


計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre 演算法或 Borweins 演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent 演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立 超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/2/4/524a01f928a2eddfb2d141f7d0089dd6.png
(K. Takano, 1982年)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/0/e/20eeb32761f5204b35a62f50d7d1b2f5.png
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/9/7/f9733b62958be8751fbab97431c27af5.png

以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。請參考 Bailey's website 相關程序。
其它計算圓周率的方法包括：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/7/e/77e9fac37840591d2aea360317141f34.png
(Ramanujan)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/c/8/dc88cec756645fb4751542454081ac6d.png
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)

詳情 : http://zh.wikipedia. org/w/index.php?titl e

參考資料:
http://zh.wikipedia. org/w/index.php?titl e=%E5%9C%93%E5%91%A8 %E7%8E%87&varian t=zh-tw

圓，這是最簡單而又最美麗的幾何圖形，也是人類最早認識的幾何圖形。然而，在這個人們最為熟悉的幾何圖形中，卻隱藏著一個神秘的數：圓周率π。

唸小學的時侯，接觸到圓及球體幾何的課題時，老師便告訴我們「π是一個常數，約等於22/7或3.14，它是圓周與直徑的比值。」這數值一直被我們牢牢地記住，並且應用至實際的生活各個方面。它也是我們最熟悉的一個數學上的常數、一個自然的常數。

原來π是希臘字母之一（讀作 pi），最初提出以π代表圓周率的是16世紀的英國人奧特雷德（William Oughtred, 1574-1660），後經17世紀的英國人瓊斯（William jones, 1675-1749）及1736年瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler, 1707-1783）的大力提倡，π才正式成為圓周率的專用符號。

從公元前20世紀埃及人和巴比倫人，直至今天，世界各地接二連三有人在探求最接近π的精確值。著名的代表人物，西方的有古希臘的阿基米德（Archimedes，公元前281-212年），東方的則有中國的劉徽（約公元前236年）及祖沖之（公元429-500年）。

圓周率π=3.14159 26535 8979323 846....


山巔一石一壺酒

３．１４１５９

二侶舞扇舞

２６５３５

把酒砌酒扇又搧

８９７９３２３

飽死囉.....

８４６.....

　

圓周率（π值）的計算歷史簡表

獲得時間
計算者
小數點後的正確位數


古中國、巴比倫及希伯萊
(圓周率=3)

公元前20世紀
埃及人、巴比倫人
1

公元前240年
古希臘的阿基米德（Archimedes）
2

公元前263年
中國的劉徽
3

公元450年
印度的阿利阿伯哈塔（Aryabhate）
3

公元480年
中國的祖沖之
6

公元15世紀初葉
阿拉伯的阿爾卡西
16

1596年
德國的盧多爾夫範柯倫

（Ludolph Van Ceulen）
20

1610年以前
德國的盧多爾夫範柯倫

（Ludolph Van Ceulen）
35

1699年
英國的夏普（Abraham sharp）
72

1706年
梅欽（Machin）
101

1794年
馮．貝格．凱洛格（Georg von Vega）
136

1841年
盧瑟福（William Rutherford）
151

1844年
達瑟（Dase）
201

1851年
英國的威廉向克斯（William Shanks）
318

1852年
英國的威廉向克斯（William Shanks）
527

1945年
英國的福格遜（D.F. Ferguson）
540

1946年
英國的福格遜（D.F. Ferguson）
620

1947年
英國的福格遜（D.F. Ferguson）
710

1949年
美國的斯密司、倫奇
1,118

1949年
賴特韋斯納（George W. Reitweisner）等人
2,037

1954年
Watson Scientific Laboratory
3,093

1958年
法國的弗朗索瓦．裘紐斯（Francois Genuys）
10,000

1959年
法國的讓．蓋尤（M. Vean Guiloud）
16,167

1961年
美國的丹尼爾．向克斯、倫奇
100,265

1966年
法國的讓．蓋尤（M. Vean Guiloud）、

菲里德（Fillatoire）
250,000

1967年
法國的讓．蓋尤（M. Vean Guiloud）、

荻商普（Dichampt）
500,000

1973年
法國的讓．蓋尤（M. Vean Guiloud）、

鮑耶（Martne Bouyer）
1,001,250

1981年
日本的三好和憲、金田康正
2,000,037

1985年
美國
17,000,000

1987年
日本的金田康正
超過1億位

1987-89年
日本的金田康正
先後超過2億，5億

1989年
美國的格里高里、戴維查德諾夫斯基
10.1億