極大值...極小值 問題

1.
當一個正方體邊長為 x, 它有 12 條邊, 總邊長是 12x，體積為 x^3
如果兩個正方體，一個邊長 x 另一個邊長 y，總邊長是 24 cm，
那麼 12（x+y)=24, x+y=2, y=2-x
你要將總體積最小化，
即是 x^3 + y^3 = x^3 + (2-x)^3 = 8-12x+6x^2 = 6(x-1)^2 +2
6(x-1)^2 +2 的最小值就是 x-1=0.
其它？你自己應該知點計。

2.
(a) f(x)=(x-a)(x-b)
= (((x-a)+(x-b))^2 - ((x-a)-(x-b))^2)/4
= ((2x-a-b)^2 - (b-a)^2)/4
f(x) 的極小值就是在 2x-a-b=0 時，
即是此時 f(x)= 0-(b-a)^2)/4= -(a-b)^2/4 = -k^2/4

(b)(i)
g(x)=x^2 -6x+5 = (x-5)(x-1) 所以極小值是 -(5-1)^2/4= -16/4
h(x)=(x-3)(x-b) 而值小值是 -(b-3)^2/4 而且 b<3，所以 b-3=-4, b=-1

(b)(ii)
h(x)=g(x+m)+n
代入 y=x+m, 可推斷 g(x+m) 的極小值與 g(y) 相等。
考慮到 x 與 y 只是 dummy variable，所以，
h(x)=g(x+m)+n 與 g(x+m) 的極小值相等，所以只可能 n=0
根據 2(a) 結果推斷
g(x+m) 的極小值出現於 2(x+m)-5-1=0
h(x) 的極小值出現於 2(x)-3-(-1)=0
兩者值小值出現時 x 值為相同，所以 2(x+m)-5-1= 2(x)-3-(-1)= 0
m=2

第三同第四題題目好奇怪，奇在 degree of freedom 太窄，變成你有非常多的方法也可以計同一條數，沒有標準方法，可能係出題者限制你只可以使用上課所學的方法，而我並不知道你學了什麼。

3.
設 x=0，得到 -AB + 2A+ 1=-1, 2=A(B-2)
左邊的 x^3 的 coffieient 只可能是 Ax, x, x 相乘，右邊是 2, 所以 A=2
而 B-2=1

4(a)
ax^4 -(3a+2b)x^2+4≡(x^2-b)[(b+1)x^2-3]-2b

設 x=0, 左方=4, 右方=(-b)(-3)-2b = b 所以 b=4
考慮 coffieient of x^4, 左方是 a, 右方是 b+1, 即是 a=(b+1) =5

4(b)
有關的聯立方程根本很容易，無理由要「由此」，
但基於出題要求（根本係填鴨式教育），就此說明

(5x^4-22x^2+6) - (x^2-6) = y-y =0

當 a=5, b=4,
(ax^4 -(3a+2b)x^2+4) +8 =0
(x^2-b)[(b+1)x^2-3]-2b +8=0
(x^2-b)[(b+1)x^2-3] =0

考慮 (x^2-b)=0 或 (b+1)x^2-3=0
即 x 可以等於 2, -2, sqrt(0.6), -sqrt(0.6)，y= -2 或 0.6-6 = -5.4
sqrt 指開平方的意思。


其實較直接的方法是強化解 (5x^4-22x^2+6) - (x^2-6) =0 這條方程，
完全不理會 4(a) 做乜，因為 4(a) 係個十分特殊的用法，無廣義的用途，
5x^4 -23 x^2 +12=0
5(x^2 - 2.3)^2 = 14.45
(x^2 - 2.3)^2 = 2.89
x^2 - 2.3 = 1.7 or x^2 - 2.3 = -1.7
x^2 = 4 or x^2 = 0.6
學數學要多使用有廣義用途的解決方法，同埋明乜係 degree of freedom，知道條學夠唔夠資料根本無法解決，還是資料太多所以解決方法太多。

2007-01-16 18:21:54 補充：
log 的數學單純係算式的交換, 即係log (base a) b = c即是a^c = b在未到達學微積分之前, 你可以用的工具都好少, 亦即是你只要用好以上轉換公式就可以做所有 log 的數學